maths bad good what is maths???

অঙ্কে ভালো বলে কিছু হয় কি?
কেউ কি সত্যিই অঙ্ক তে কাঁচা?
কেউ কি সত্যিই অঙ্ক তে পাকা?
অঙ্ক তাহলে কি জিনিস? অঙ্ক কি কাজের জ্ঞান? নাকি অঙ্ক একটা অকাজের জ্ঞান? অঙ্ক অবাস্তব বিমূর্ত বিষয় নিয়ে সম্পর্ক স্থাপন করে বাস্তব এর এতো কাছাকাছি এলো কি করে? কি এমন গুণ রয়েছে তাতে? অবাস্তব সংখ্যা ও নাকি বাস্তবতা কে চিনতে সাহায্য করে। কেনো? কোন জাদু বল এ অঙ্কের এই চরিত্র তৈরি হয়েছে ???????????????????
Terrence Tao এর একটা উক্তি অনেক টা এই রকম
" Greece একদিনে Greece হয়নি। তাড়াতাড়ি +-×÷√^ করে অঙ্ক পণ্ডিত হয় না। সমস্যা খুঁজে নিয়ে তাতে লেগে থাকতে হয়।" Fermat এর last theorem (conjecture to theorems journey) চলতে চলতে 22 বছর লেগে থেকে গণিতবিদ Andrew Wiles ও একই ধরনের কথা বলেছিলেন যে তাজ মহল কতো তাড়াতাড়ি তৈরি হয়েছে সেইটা কেউ জিজ্ঞেস করবে না ফলে লাগুক না 30 বছর perfection,depth সৌন্দর্য গুলো আসল কথা " আমরা গণিত এর আনন্দের journey তে ডুব দিতে ভুলে যাচ্ছি। Fast maths is not actual maths at all olympiad toppers normally dont get nobel nor fields medals" only few like Terrence Tao, maryam mirzakhani,jean bourgain,laurent laforgue olympiad এবং fields medal পাওয়া এই কজন আছে ব্যাস। আর কেউ আছে কি??? নোবেল??? কোন fast solver নেই কিন্তু। কারণ নতুন তত্ত্ব তৈরি করা ভিন্ন জিনিস। ক্যাট কেতাতে পাকামো করা আলাদা জিনিস।
_________________________________
উপরের প্রশ্ন গুলোর সঠিক উত্তর খুঁজতে হলে আরো বাড়তি কিছু ফালতু প্রশ্ন ঘেঁটে দেখতে হবে।

কেউ কি সত্যিই ভালো হাগুড়ে? অর্থাৎ যে খুব ভালো করে হাগে(খুব ভালো করে পায়খানা করতে পারলে কি প্রাইজ দেওয়া হয়??? কেউ কেউ তো গোটা সপ্তাহে একবার এর কম পায়খানা করে। তাকে কি নম্বর কম দেওয়া হয়???)। অর্থাৎ যার খুব বেশি হ্যাগা পায় সে কি সত্যিই হাগ এ ভালো? নাকি হাগ পায় বলে হাগে? হাগ না পেলে হাগর দরকার কি? সমস্যা না থাকলে (অথবা সমস্যা দেখতে না পেলে কিসের সমাধান খুজছেন????????????..) পৃথিবীর যা কিছু দেখছেন তাতেই যদি জোরে পায়খানা পাওয়ার মতন সমস্যা বোধ করেন আপনি তাহলে অবশ্যই আপনি অঙ্ক তে ভালো।

কেউ কি সত্যিই best প্রেমিক হয়? কেউ কি সত্যিই best প্রেমিকা হয়? কিছু কিছু গুণ এর সাধারণ দৃষ্টিতে তুলনা হয় না। অথচ তুলনা যোগ্য করে তোলে অঙ্ক। এই প্রশ্ন কে ও যদি গাণিতিক সমস্যা (লজিক এর সমস্যা reasoning এর সমস্যা) রূপে বোধ হয় আপনার তাহলে আপনি অঙ্ক তে ভালো। পৃথিবী তে যা কিছু দেখছো সেইটা তুলনার আওতায় নিয়ে আসো। ইচ্ছে হলে জোর করে তুলনা যোগ্য করে তোলে সমস্ত কিছুকে। সেইটা অঙ্কের ভালো হওয়ার লক্ষণ। অর্থাৎ আপনি প্রায় অর্ধেক দার্শনিক না হলে অঙ্ক তে ভালো নন। আর অন্তত অর্ধেক গণিতবিদ না হলে কোনভাবেই আপনি দার্শনিক নন।(ভারতে কলেজ এন্ট্রান্স এ ভর্তির লাইন দেখে বিচার করবেন না কিন্তু। বেশি জনসংখ্যার দেশে পেটের ভাত জোগাড় করার তাগিদে ভুলে যাবেন না যে দর্শন এবং গণিত প্রায় একই জিনিস) । সমস্যা দেখতে পেলে দার্শনিক অথবা গণিত বিদ আর সমস্যা দেখতে না পেলে সুখী। সুখী হওয়া তো ভালো কথা। অকারণে সমস্যার প্রেমে পরা তো খুব বুদ্ধির লক্ষণ নয় সাধারণ দৃষ্টি তে দেখলে। সুখী মানুষ অঙ্ক তে ভালো না হওয়া স্বাভাবিক। সুখী মানুষ এর দার্শনিক না হওয়া ও খুবই স্বাভাবিক।
এই অবধি ছিল Russel viewpoint থেকে আলোচনা

এইবার আরো কিছু বিচিত্র প্রশ্ন থেকে আলোচনা করবো যেটা হচ্ছে David Hilbert এর view point থেকে আলোচনা।

ভারতে রাস্তার বা দিক দিয়ে গাড়ি চালায় লোকে। সেইটা (রাস্তার বা দিক দিয়ে চলার নিয়ম টা)হিন্দু ধর্মে লেখা নেই ইসলাম এ ও লেখা নেই। অথচ ইউরোপ ও আমেরিকা তে রাস্তার ডান দিক দিয়ে গাড়ি চালায় লোকে। গাড়ির স্টিয়ারিং গুলো ও উল্টো দিকে থাকে। সেইটা খৃস্টান ধর্মে লেখা নেই। ইহুদী ধর্মে ও লেখা নেই। কিন্তু লোকে কিছু rule বানিয়েছে। সেই রুলে জীবন যাপন করছে। রুল মেনে খেলছে। David Hilbert এর বক্তব্য হচ্ছে rule বানিয়ে খেলো। সেইটাই অঙ্ক। নতুন নতুন খেলার নিয়ম বানান আর খেলুন।নতুন নতুন খেলার নিয়ম বানান আর খেলুন।নতুন নতুন খেলার নিয়ম বানান আর খেলুন। সেইটা অঙ্ক বিদ এর কাজ। অঙ্কের লোক অথবা মহিলা (আ___লোক নালোক চা লোক... যা ইচ্ছে হোক)আর দার্শনিক কোনদিন বোর ও হয় না বড়ো ও হয় না। শিশু থাকে। নিজে নিজেই এরা খেলা বানায় নিয়ম বানায় আর খেলতে থাকে। ওই যে কবি বুঝেছিলেন কারণ কবি নিজে অঙ্ক ও বুঝতেন সুর ও করতেন দার্শনিক ও ছিলেন ফলে David Hilbert এর কথা সরল বাংলায় বলেছিলেন "খেলিছ এই বিশ্ব লয় এ ... বিরাট এই শিশু.............. আন মনে"

এই অবধি হলো David Hilbert এর point of view থেকে অঙ্কের রূপ।

অবশ্যই এই টপিক টি একটি গভীর এবং চিন্তা উদ্দীপক বিশ্লেষণ এর পথ খুলে দিচ্ছে। গণিতকে কেবল একটি বিষয় হিসেবে না দেখে, একে চিন্তা করার পদ্ধতি reasoning support system সাথে cognition support systems (cognition uplifting system) এবং বিশ্বকে দেখার একটি বিশেষ ধরনের #POV দৃষ্টিকোণ হিসেবে দেখা হচ্ছে। সঞ্জয় নাথ এর বিশ্লেষণ নয় stuart shapiro থেকে hilary putnam অবধি চর্চা আসবে ধীরে ধীরে, যেখানে রাসেল (Russell) এবং হিলবার্টের (Hilbert) দৃষ্টিভঙ্গি আনা হয়েছে, আপাতত জেটা খুবই প্রাসঙ্গিক।এই অবধি উপস্থাপিত প্রশ্নগুলোর সঠিক উত্তর খুঁজতে এবং এই উপরে প্রদত্ত আলোচনাকে প্রাথমিক ধারা ধরে আরও গভীরে যেতে হবে বুঝে, পোলিয়া, হ্যাডামার্ড, উইটজেনস্টাইন, ব্রাউয়ার, গাউস, নিউটন, ক্রোনিকার, কোশি, ওয়াইর্সট্রাস, এবং ক্যান্টরের দৃষ্টিভঙ্গিতে আলোচনাটি বিশ্লেষণ করছি
অঙ্ক কিসের নাম??????
বিশ্লেষণ ও সমালোচনা (Critique and Analysis)
এই আর্টিকেল এর বিশ্লেষণ এর টপিক মূলত গণিতের প্রকৃতি (Nature) এবং দর্শন (Philosophy) নিয়ে কাজ করে।
ক. প্রধান প্রশ্নগুলোর উত্তর
অঙ্কে ভালো বলে কিছু হয় কি?
উত্তর
হ্যাঁ, হয়। তবে এটি শুধু যোগ বিয়োগ গুণ ভাগ বা সূত্র মুখস্থ করার ক্ষমতার উপর নির্ভর করে না। অঙ্ক বা গণিতে ভালো হওয়া মানে হলো গাণিতিক চিন্তা (Mathematical Thinking) এ ভালো হওয়া অর্থাৎ, সমস্যা চিহ্নিত করা, তাকে অ্যাবস্ট্রাক্ট (বিমূর্ত) রূপে প্রকাশ করা, লজিক্যাল (যৌক্তিক) ধাপ তৈরি করা এবং সেই ধাপগুলো অনুসরণ করে সিদ্ধান্তে পৌঁছানো।
সমালোচনা
উপরে উদাহরণ এ দেওয়া Russel এর "ভালো হাগুড়ে"র উপমাটি অত্যন্ত শক্তিশালী, কারণ এটি দেখায় যে প্রয়োজন বা সমস্যা থেকেই কাজটি শুরু হয়। গণিতের ক্ষেত্রেও, ভালো হওয়ার অর্থ হলো সমস্যার প্রতি সংবেদনশীলতা এবং সমাধান খুঁজে বের করার অভ্যাস ও ধৈর্য।
কেউ কি সত্যিই অঙ্ক তে কাঁচা? কেউ কি সত্যিই অঙ্ক তে পাকা?
গণিত এর দার্শনিক দের থেকে পাওয়া উত্তর
সাধারণত, স্কুল কলেজ সমাজ এর ধারণা হচ্ছে অঙ্ক তে কাঁচা বলা হয় সেই ব্যক্তিকে যার মধ্যে গাণিতিক চিন্তা গড়ে তোলার জন্য প্রয়োজনীয় মৌলিক দক্ষতা ও মানসিক প্রস্তুতি নেই বা দুর্বল। অঙ্ক তে পাকা বলা হয় সেই ব্যক্তিকে যার চিন্তাধারা অত্যন্ত দ্রুত, সুসংগঠিত এবং বিমূর্ত ধারণার সঙ্গে স্বচ্ছন্দ।
তবে দার্শনিকভাবে দেখলে বুঝি যদি গণিত হয় নিয়ম বানিয়ে খেলা, তবে কেউ কাঁচা বা পাকা হয় না, বরং সে খেলার নিয়মগুলো কতটা ভালোভাবে জানে এবং প্রয়োগ করতে পারে তার উপর নির্ভর করে। গণিতে কাঁচা হওয়া প্রায়শই মস্তিষ্কের জন্মগত ত্রুটির চেয়ে খারাপ শিক্ষণ পদ্ধতি তে সমস্যা অথবা সঠিক সঙ্গী বেছে খেলার সুযোগ না পাওয়ার সমস্যা ও পরীক্ষায় নম্বর কম পেলে সমাজে অপমান হওয়ার ভয়ের ফল।
দার্শনিক ও গণিতবিদদের দৃষ্টিভঙ্গি (Viewpoints of Philosophers and Mathematicians)
এখানে বিভিন্ন চিন্তাবিদদের আলোকে এই বিষয় এর আলোচনাটির পর্যালোচনা করা দরকার
১. গণিত ও জীবনের সমস্যা (The 'Hagu' Analogy)
ক্যান্টর (Cantor) ও ক্রোনিকার (Kronecker):
ক্যান্টর ছিলেন সেট তত্ত্বের (Set Theory) জনক, যা গণিতকে অর্ধেক সর্বোচ্চ অ্যাবস্ট্রাকশন এ নিয়ে গিয়েছিল। তাঁর কাছে, গণিতবিদের কাজ হলো মুক্ত সৃজনশীলতা ব্যবহার করে এমন অ্যাবস্ট্রাক্ট সমস্যা তৈরি করা আর set theory ভাষায় সেই সমস্যা কে প্রকাশ করে যুক্তি এগিয়ে নিয়ে যাওয়ার ভাষায় system যা আগে কেউ ভাবেনি (যেমন, অসীম বা Infinity র বিভিন্ন স্তর পরিষ্কার দেখতে পাওয়া যেতো না set theory ভাষা প্রয়োগ করতে না জানলে)।
Viewpoint
অঙ্ক ভালো তারাই যারা অ্যাবস্ট্রাক্ট চিন্তা করতে পারে। আর abstract (non concrete,structure less,structure free whatever thing)সমস্যা না থাকলেও সমস্যা তৈরি করে (যেমন, ট্র্যান্সফাইনাইট সংখ্যা)।

ক্রোনিকার ছিলেন একজন কন্সট্রাক্টিভিস্ট। তিনি বিখ্যাত উক্তিটি করেছিলেন, "ঈশ্বর পূর্ণ সংখ্যা (Integers) সৃষ্টি করেছেন, বাকি সবই মানুষের কাজ।" তিনি ক্যান্টরের অসীম সংখ্যার ধারণা মানতে চাননি। BHK সিস্টেম এর একজন দার্শনিক।
Viewpoint
অঙ্ক ভালো হওয়া মানে হলো কেবল সেই জিনিসগুলো নিয়ে কাজ করা যা বাস্তবে তৈরি (Construct) করা সম্ভব। বাস্তবে থাকুক আর না থাকুক তৈরি করতে পারতে হবে এবং যুক্তি সহ এগিয়ে যেতে পারবো এমন গঠন তৈরি করা গেলে গঠন টি বাস্তব।Russel এর 'হাগু' উপমাটি ক্রোনিকারের দৃষ্টিভঙ্গির কাছাকাছি বাস্তব সমস্যা (পেটে চাপ) না থাকলে সমাধান (হাগা) এর প্রয়োজন নেই।
২. গণিত ও সৌন্দর্য/তুলনা (The 'Best Lover' Analogy)
গাউস (Gauss) ও নিউটন (Newton)
এঁরা ছিলেন ফলিত গণিতবিদ (Applied Mathematicians)। নিউটন ক্যালকুলাস তৈরি করেছিলেন কারণ তাঁকে বাস্তব সমস্যা (গ্রহের গতি, বলবিজ্ঞান) সমাধান করতে হয়েছিল।
Viewpoint
অঙ্ক ভালো হওয়া মানে হলো বিশ্বের লুকানো প্যাটার্ন বা 'তুলনা' খুঁজে বের করা এবং সেগুলোকে গাণিতিক সমীকরণে (যেমন, F=ma) প্রকাশ করে তুলনাযোগ্য ও ভবিষ্যদ্বাণীযোগ্য করে তোলা। আপনার আলোচনায় এই অংশটি গাঢ়ভাবে ফলিত গণিতের দিকে ইঙ্গিত করে।

অপর দিকে কোশি (Cauchy) ও ওয়াইর্সট্রাস (Weierstrass)
এঁরা ছিলেন বিশুদ্ধ গণিত (Pure Mathematics) এর মূল ভিত্তি স্থাপনকারী। কোশি প্রথম ক্যালকুলাসের জন্য কঠোর সংজ্ঞা (যেমন, সীমা/Limit) দেন, আর ওয়াইর্সট্রাস তা আরও কঠোরভাবে সম্পূর্ণ করেন। নিউটন লইবনিজ দের rigor নিয়ে এতো headache ছিল না কিন্তু। নিউটন এবং লেইবনিজ intuitionistic পদ্ধতিতে গণিত করতেন। 1860 থেকে নিউটন এর calculus কে যুক্তিভিত্তি হীন ধরে নেওয়ার প্রচলন হয়েছিল।

Viewpoint
অঙ্ক ভালো হওয়া মানে শুধু তুলনা করা নয়, বরং তুলনার ভিত্তিগুলো কতটা কঠোরভাবে সংজ্ঞায়িত তা নিয়ে চিন্তা করা। এঁরা দর্শন এবং লজিককে গণিতের শুদ্ধতার জন্য অপরিহার্য মনে করতেন।
৩. গণিত ও দর্শন (The Russell-Hilbert Divide)
উইটজেনস্টাইন (Wittgenstein):
তিনি প্রথম জীবনে লজিক্যাল অ্যাটমবাদ নিয়ে কাজ করেন (রাসেলের ছাত্র)। পরে তিনি ভাষা ও গণিতের সম্পর্ক নিয়ে আরও গভীরে যান।
Viewpoint
গণিত হলো এক ধরনের ভাষা বা খেলার নিয়ম (Language Game)। গণিতে ভালো হওয়া মানে হলো নিয়মগুলো নির্ভুলভাবে প্রয়োগ করা এবং ভাষাটিকে অ ambiguity এর হাত থেকে বাঁচানো। তাঁর কাছে, গণিত ট্রুথ নয়, বরং টাউটোলজি (Tautology) যা সত্য, তা নিয়মের মধ্যেই নিহিত।
ব্রাউয়ার (Brouwer):
তিনি ছিলেন ইন্টুইশনিজম (Intuitionism) এর প্রধান প্রবক্তা (নিউটন ও গণিত এর ক্ষেত্রে intuitionist ছিলেন,descartes তো intuition কে formal করেছিলেন না বুঝেই leibniz ও অর্ধেক এ বেশি intuitionist ছিলেন এরা কিন্তু হিলবার্টের formalism এর ঘোর বিরোধী)। তিনি গণিতের সত্যতা মানুষের মনের স্বতঃস্ফূর্ত জ্ঞান (Intuition) এ খুঁজেছেন, বাইরের জগতের নিয়মে নয়।
Viewpoint
অঙ্ক ভালো হওয়া মানে হলো মানসিক সৃজনশীলতা কে কাজে লাগানো। ব্রাউয়ারের কাছে, হিলবার্টের মতো রুল বানিয়ে খেলা-র চেয়ে মনের মধ্যে তৈরি হওয়া স্পষ্ট ধারণা বেশি গুরুত্বপূর্ণ। তিনি প্রমাণের জন্য বিরোধ (Proof by Contradiction) এর পদ্ধতিকে প্রায়শই প্রত্যাখ্যান করতেন।
পোলিয়া (Pólya) ও হ্যাডামার্ড (Hadamard)
এঁরা প্রধানত সমস্যা সমাধান (Problem Solving) পদ্ধতি নিয়ে কাজ করেছেন। অর্থাৎ reasoning এর সাথে analogy metaohor সিমিলি মিলিয়ে reasoning space বর্ধিত করার দিকে জোর দিয়েছেন।concept expansion এর দিকে জোর দিয়েছেন।logical apparatus construction এর দিকে জোর দিয়েছেন।
Viewpoint
অঙ্ক ভালো হওয়া মানে হলো "কীভাবে সম্পূর্ণ অজানা সমস্যা স্থাপন করবো এবং সেইটা কে সমাধান করব?" তা নিয়ে চিন্তা করা (পোলিয়া র 'How to Solve It?')। এটি কেবল ফলাফল নয়, বরং সমাধানের পথ বা প্রসেস (Process)। হ্যাডামার্ড সৃজনশীলতা ও অবচেতন মন (Subconscious Mind) থেকে গাণিতিক ধারণা আসার উপর জোর দিয়েছিলেন।
৪. ডেভিড হিলবার্টের  হয়ে নজরুল গীতি"খেলিছ এই বিশ্ব লয় এ..."
বিশ্লেষণ
হিলবার্টের বিখ্যাত উক্তি হলো, "গণিত হলো এমন একটি খেলা যা কিছু চিহ্ন (Signs) দিয়ে খেলা হয়, এবং এই খেলার নিয়মগুলোই হলো স্বতঃসিদ্ধ (Axioms)।" এই বিশ্লেষণ এই ধারণাকেই প্রতিফলিত করে।
হিলবার্টের দৃষ্টিকোণ থেকে, ভালো গণিতবিদ হলেন একজন ভালো game designer যে নতুন নতুন খেলার সৃষ্টি করতে পারে এবং interesting খেলার নিয়ম প্রণেতা এবং খেলোয়াড়। তাঁরা নিয়মের সীমাবদ্ধতার মধ্যে থেকেও নতুন প্যাটার্ন আবিষ্কার করেন। এখানে নজরুল এর উদ্ধৃতিটি ("খেলিছ এই বিশ্ব লয় এ...") হিলবার্টের এই অ্যাবস্ট্রাক্ট এবং খেলোয়াড়ি মনোভাবকে সুন্দরভাবে প্রকাশ করে।
তিনটে করে দিক আলোচনা করবো এবার what is mathematics সংক্রান্ত দর্শন এর ক্ষেত্রে।
দার্শনিক/গণিতবিদ
গণিতে ভালো হওয়ার অর্থ
মূল ফোকাস

Russell (রাসেল)
লজিক ও তুলনা যোগ্য relation designing সমস্ত কিছুকে যৌক্তিক ও তুলনার আওতায় আনা।
লজিক ও গণিতের ভিত্তি।

Hilbert (হিলবার্ট)
নিয়ম বানানো ও খেলা
স্বতঃসিদ্ধ (Axioms) তৈরি করে তার মধ্যে খেলা।
গাণিতিক পদ্ধতি।
Cantor (ক্যান্টর)
বিমূর্ত সৃজনশীলতা
নতুন অ্যাবস্ট্রাক্ট ধারণা (যেমন, অসীম) তৈরি করা
সেট তত্ত্ব ও অসীম কে বিশ্লেষণ করার ভাষা সৃষ্টি।
Brouwer (ব্রাউয়ার)
মানসিক স্বতঃস্ফূর্ত জ্ঞান
মনের ভেতর থেকে সত্যকে খুঁজে বের করা।
ইন্টুইশন ও নির্মাণ।
Pólya/Hadamard
সমস্যা সমাধানের প্রক্রিয়া ফলাফল নয়, ধাপে ধাপে সমাধান পদ্ধতির দক্ষতা।
প্রমাণ এর প্রক্রিয়া ডিজাইন করা ও সৃজনশীলতা।

1. “অঙ্কে ভালো/খারাপ”
এটা মানুষের অন্তর্নিহিত গুণ নয়, বরং সমস্যা দেখতে পারা এবং _তুলনা করার ক্ষমতা_র এক ধরনের cognitive habit।

2. মানুষ সমস্যা তৈরি করে, তারপর তার সমাধান খোঁজে।
→ সমস্যা অনুভব না করলে সমাধানেরও দরকার নেই।

3. যারা “যেকোন জিনিসকে তুলনাযোগ্য করতে পারে”,"পরিমাপ এর গঠন দিতে পারে নতুন ভাবে দেখতে পারে" , “যারা অসংগতি দেখলে অস্বস্তি পায়” তারাই গণিতমনা।

4. গণিত ও দর্শন দুটি দুর্দান্ত শিশুসুলভ খেলা;
→ Hilbert-এর ভাষায়
rules বানানো আর খেলা।

5. “অঙ্কে ভালো বলা” মানে “যে দুনিয়াকে সমস্যা হিসেবে দেখতে পারে এবং নতুন নিয়ম বানিয়ে খেলতে পারে”—Russel এর ভাষায় “হাগা পেলে হাগে”, “যেকোন সমস্যা দেখলে তাতেই গণিত করে”।

এই দর্শন গুলোর শক্তি
ধারণাগুলো ব্যতিক্রমী, provocative এবং মৌলিক।

Russell Hilbert Wittgenstein এর philosophical গণিত এক form এ মিশিয়ে দেখেছেন।

তুলনার শক্তি এবং problem-formation এগুলো সত্যিকার গণিতচিন্তার কেন্দ্রবিন্দু।

এখানে Russel এর চিঠি তে পাওয়া উদাহরণ (“হাগা” analogy) সঠিক হলেও ভাষাগতভাবে কিছু পাঠককে বিভ্রান্ত করতে পারে।

এই Argument এর formal skeleton টা বলে দিলে আপনাদের বোধ টা আরো শক্তিশালী হবে
→ (১) problem perception → (২) rule construction → (৩) reasoning → (৪) comparison → (৫) abstraction.
১. George Pólya  “How to Solve It” school

Polya এর মতে
“অঙ্কে ভালো” মানে সমস্যার গন্ধ পেলে শিকারি কুকুরের মতো ছুটে যাওয়া।অঙ্কে “কাঁচা/পাকা” বলে কিছু নেই।

আছে শুধু চারটি habit:
→ বুঝে নেওয়া
→ পরিকল্পনা করা
→ চেষ্টা করা
→ ফিরে দেখা

যিনি সমস্যাকে সমস্যা হিসেবে বুঝতে পারেন তিনি “ভালো”।
“হাগা পেলে হাগে” Same idea as Russel.
Problem আসে → mind reacts → math begins.
২. Jacques Hadamard creative mathematics philosopher
Hadamard এর মতে
“অঙ্কে ভালো” মানে অন্তর্দৃষ্টি (intuition) + অবচেতন খুব curious এবং incubation।
মানুষ অঙ্ক শিখে তাকে পায় না;
→ সমস্যা নিয়ে হাঁটতে হাঁটতে মাথার পেছনে তা সিদ্ধ হয়।

Hadamard বলতেন

যারা ইচ্ছা ছাড়াই পৃথিবীর খুঁটিনাটি তে প্যাটার্ন খুঁজে, তারা গণিতে স্বভাবতই ভালো। “যে জোর করে তুলনা যোগ্য করে তোলো সবকিছুকে”exactly Hadamard এর line.
৩. Wittgenstein language games & rule following
Wittgenstein এর মতে
গণিত পুরোপুরি এক language game, অর্থাৎ
নিয়ম বানানো + নিয়ম মানা।
“অঙ্কে ভালো/খারাপ” মানে
যে reasoning এর নতুন rules বানায়,reasoning এর নতুন ভাষা দেয়, সমস্যার ভাষা গুলো বুঝে rule বানায়
যে rule এর মধ্যে খেলা শিখে নিজেও খেলে অপর কে ও শেখায়
এবং যে নতুন অদৃশ্য game এর ও logic ধরতে পারে
সে অঙ্ক তে “ভালো”।
Wittgenstein never cared about “talent”
→ তিনি cared only about how you design and play rules.
“Hilbert এর rule বানানো খেলা”র অংশ  pure Wittgenstein.

৪. L.E.J. Brouwer intuitionism

Brouwer এর মতে construct construct construct
Only construct things।
অঙ্কে ভালো = যার মনে নতুন ধারণা নির্মাণশক্তি আছে।
গণিত হচ্ছে মনের নির্মাণ, বাস্তব জগতের নয়।
“কেউ কাঁচা/পাকা”এই ধারণা meaningless, কারণ
গণিত জন্মায় মানুষের নির্মাণপ্রক্রিয়ায়, কোন external reality তে নয়।

“সমস্যা না দেখলে সমাধান কেন করবেন?”
Brouwer বলতেন
“যতক্ষণ মন নতুন construction তৈরি না করে, ততক্ষণ গণিতের অস্তিত্বই নেই।”
৫. Gauss “Prince of Mathematics”
Gauss বলতেন
অঙ্কে ভালো হওয়া মানে প্রায় ধর্মীয় devotion।
ভিতরে আগুন থাকতে হবে, curiosity থাকতে হবে।
কাঁচা/পাকা নেই; আছে পরিশ্রম + intuition।
Gauss এর বাস্তবতা
তিনি শিশু বয়সেই pattern detect করতেন।
Pattern detection ability “দুনিয়াকে তুলনার আওতায় আনতে পারা।”
৬. Newton
Newton বলতেন
"If I have seen further, it is by standing on the shoulders of giants(what effective reasoning rules of games others(example Descartes,occum, euclid...)already prepared)."

Newton এর মতে

অঙ্কে ভালো = relentless persistence curious
সমস্যা দেখলে ঘুম না আসা
সঞ্জয় নাথ বাংলা করেছেন “সমস্যা দেখলে পায়খানা পাওয়ার মত চাপ আসে” Newton এর লাইনে oddly accurate.Newton literally obsessed and over curious over almost everything and everything was like math problems.
অঙ্কে “কাঁচা/পাকা” তার কাছে শুধু আসক্তির পরিমাপ।

৭. Kronecker

Kronecker বলতেন
“God made integers; all else is the work and construction of of man mind.”

তার মত
অঙ্কে ভালো হওয়া মানে real, discrete, constructive thought।
যিনি “অপ্রয়োজনীয় abstraction(overgeneralization)” পছন্দ করেন না,এবং concrete structure (specific concrere thought objects)বুঝেন তিনি ভালো।
Kronecker সঞ্জয় নাথ এর “তুলনাযোগ্য করা” ধারণা সমর্থন করতেন।

৮. Cauchy

Cauchy = rigor এর স্রষ্টা জনক। গভীরে যাও আরো গভীরে যাও যুক্তি কে ছিবড়ে করে খাও।
তার মতে
“ভালো অঙ্কবিদ” =
যিনি আগাগোড়া যুক্তিসংগত ও নির্ভুল।
Cauchy-এর কাছে কাঁচা/পাকা নেই
→ rigor আছে কি নেই?
সমস্যা দেখার ক্ষমতা নয়;
→ লজিকাল শুদ্ধতা mattered most.

সঞ্জয় নাথ এর free style intuition এর বিপরীত অবস্থান।

৯. Weierstrass

তিনি pure formalist। এবং নিউটন কেও illogical বলেছেন।
তার মতে
intuition unreliable
rigor = real mathematics
সঞ্জয় নাথ এর বাংলা উদাহরণ এর analogy গুলো (হাগা, প্রেম, তুলনা)Weierstrass এর কাছে খুব “non mathematical” শোনাতো।

তিনি বলতেন

“To be good in math is to be good in epsilon measures delta measures like strong strict formalism with proper mathematical measurable definitions power is necessary”

That’s it.

১০. Cantor

Cantor প্রায়ই বলতেন

“To be good in math is to be good in creating new worlds fornewkindofreasoning.”

Set theory infinite worlds pure imagination।
Hilbert style rule-creation = Cantor এর transfinite imagination এর সাথে perfect match।
Cantor এর মতে অঙ্ক তে “কাঁচা/পাকা” বলতে কিছু নেই
কেউ imagination ব্যবহার করে, কেউ করে না।
এখন আরো কিছু গণিতবিদ দের point of view দেখে নিচ্ছি। গণিত সম্পর্কে এদের point of view গুলো ও জেনে রাখা প্রয়োজন।

“অঙ্কে ভালো বলে কিছু হয় কি?”
সব দার্শনিকদের কি সিদ্ধান্ত?
গণিতবিদ অঙ্কে ভালো/খারাপ বলে কিছু আছে? সংক্ষিপ্ত যুক্তি

Polya ❌ না সমস্যা দেখার অভ্যাস matter করে
Hadamard ❌ না intuition + creative incubation matter
Wittgenstein ❌ না rule following & language game matter
Brouwer ❌ না constructive mind matter
Gauss ✔️ আছে pattern detection innate talent
Newton ✔️ আছে obsessive commitment
Kronecker ✔️/❌ depends on concrete reasoning ability
Cauchy ✔️ আছে rigor matters
Weierstrass ✔️ আছে precision matters
Cantor ❌ না imagination matters more than talent

Majority verdict
“অঙ্কে ভালো/ অঙ্কে খারাপ”এটা talent এর প্রশ্ন নয়,its one’s way of seeing the world.

Hilbert Russel এর দার্শনিক synthesis

I. লজিক ও ভিত্তি (Logicism & Foundations)
Frege (ফ্রেইগে)
অঙ্ক হলো বিশুদ্ধ যুক্তিবিদ্যা (Pure Logic)। অঙ্কে ভালো হওয়া মানে লজিক্যাল ধারাবাহিকতা এবং সুসংজ্ঞা (rigorous definitions) বুঝতে পারা।
Zermelo & Fraenkel (জারমেলো ও ফ্রাঙ্কেলের সেট তত্ত্ব ZF/ZFC)
অঙ্ক হলো সেট এর উপর ভিত্তি করে তৈরি রিগোরাস flawless খেলার নিয়ম। অঙ্কে ভালো হওয়া মানে সেই স্বতঃসিদ্ধ (axioms) গুলো মেনে বিমূর্ত কাঠামোগুলি (abstract structures) নিয়ে কাজ করতে পারা।
Church & Turing (চার্চ ও টুরিং)
অঙ্ক হলো গণনযোগ্যতা (Computability)। অঙ্কে ভালো হওয়া মানে যেকোনো সমস্যাকে একটি সুনির্দিষ্ট অ্যালগরিদম বা ধাপ (Turing machine) দিয়ে সমাধান করার যৌক্তিক সম্ভাবনা বুঝতে পারা।
II. প্রকৃতি ও কাঠামো (Structure & Abstraction)
Descartes (দেকার্ত)
অঙ্ক হলো বিশুদ্ধ অন্তর্দৃষ্টি ও অবরোহী যুক্তি (Intuition and Deductive Reasoning)। ভালো গণিতবিদ সেই, যে সরলতম সত্য (simple truths) থেকে জটিলতম সমস্যা যৌক্তিকভাবে বের করতে পারে।
Leibniz (লাইবনিৎজ)
অঙ্ক হলো সার্বজনীন প্রতীকী ভাষা (Universal Symbolic Language)। অঙ্কে ভালো হওয়া মানে এই ভাষা ব্যবহার করে কারণ ও-প্রভাব (cause and effect) এর সম্পর্কের গণনা (calculus) করতে পারা।
Hamilton & Lagrange (হ্যামিলটন ও ল্যাগ্রাঞ্জ): অঙ্ক হলো বাস্তবতার লুকানো প্রতিসাম্য ও অপটিমাইজেশন (Symmetries and Optimization)। ভালো গণিতবিদ সেই, যে বিশ্বের সবচেয়ে কম শক্তি বা পথের নীতি (Principle of Least Action) ব্যবহার করে গতিবিদ্যাকে বুঝতে পারে।
Riemann (রিম্যান)
অঙ্ক হলো বিমূর্ত স্থান ও জ্যামিতি (Abstract Spaces and Geometry)। ভালো হওয়া মানে ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির ভিতরে অথবা বাইরে গিয়ে সরল স্থান অথবা বক্র স্থান (curved spaces) বা বহুমাত্রিক স্থানের নতুন নতুন প্যাটার্ন দেখতে পারা।
III. বাস্তব প্রয়োগ ও পদার্থবিদ্যা (Physics & Application)
Euler & Laplace (অয়লার ও ল্যাপলেস)
অঙ্ক হলো প্রকৃতির ভাষা এবং ভবিষ্যদ্বাণী (Language of Nature and Prediction)। ভালো গণিতবিদ সেই, যে প্রায়োগিক সমস্যার জন্য দ্রুত ও কার্যকর সরঞ্জাম (analytical tools) তৈরি করতে পারে।
Galois (গালোয়া): অঙ্ক হলো প্রতিসাম্যের কাঠামো (Structure of Symmetry)। ভালো হওয়া মানে বীজগণিতীয় সমীকরণের মূলগুলো (roots) সমাধান না করে তাদের পেছনের গ্রুপ তত্ত্বের (Group Theory) নিয়ম বুঝতে পারা।
Einstein (আইনস্টাইন): অঙ্ক হলো তাত্ত্বিক পদার্থবিদ্যার একমাত্র কার্যকর মাধ্যম। অঙ্কে ভালো হওয়া মানে রিম্যানিয়ান জ্যামিতির মতো বিমূর্ত কাঠামো দিয়ে বাস্তবতার নিয়ম (যেমন আপেক্ষিকতা) বর্ণনা করতে পারা।Feynman (ফেইনম্যান)
অঙ্ক হলো বাস্তব সমস্যার সহজতম সমাধান খুঁজে বের করা। ভালো গণিতবিদ সেই, যে চিরাচরিত পদ্ধতি অনুসরণ না করে নতুন, সৃজনশীল (Feynman Diagrams) পথে সমাধান করতে পারে।but maths is muster bation physics is real sek sss
IV. আধুনিক দর্শন ও তত্ত্ব (Modern Philosophy & Theory)
Hardy & Ramanujan (হার্ডি ও রামানুজন)
অঙ্ক হলো বিশুদ্ধ সৌন্দর্য এবং গভীর অন্তর্দৃষ্টি (Pure Beauty and Deep Intuition)। ভালো হওয়া মানে যেন ঈশ্বরের কাছ থেকে সরাসরি সূত্র পাওয়া—যা রামানুজন করতেন। এটি জন্মগত প্রতিভার উপর জোর দেয়।
Shapiro & Putnam (শাপিরো ও পুটনাম স্ট্রাকচারালিজম)
অঙ্ক হলো কাঠামো (Structure)। অঙ্কে ভালো হওয়া মানে বিভিন্ন গণিতীয় কাঠামোর মধ্যেকার সম্পর্ক দেখতে পাওয়া।
Category Theorists
অঙ্ক হলো সম্পর্কের সম্পর্ক (Relationship of Relationships)। ভালো হওয়া মানে অ্যাবস্ট্রাক্ট ধারণাগুলোকে "ফাঙ্কটর" (functors) ও "ক্যাটাগরি" (categories) দিয়ে উচ্চ স্তরে সাজাতে পারা।
Type Theorists (Martin Löf/Curry/Howard)
অঙ্ক হলো প্রোগ্রামিং ও যৌক্তিক প্রমাণ। ভালো হওয়া মানে প্রতিটি ধারণা বা ভেরিয়েবলকে একটি "টাইপ" দেওয়া, যেখানে প্রতিটি গাণিতিক প্রমাণ আসলে একটি কম্পিউটার প্রোগ্রাম।
অঙ্ক আসলে কী?
অঙ্কে ভালো/কাঁচা/পাকা?
টারেন্স টাও, ওয়াইলস এবং আপনার যুক্তির সারমর্ম হলো: অঙ্কে ভালো হওয়াটা কোনো 'ট্যালেন্ট' নয়, এটি হলো দীর্ঘ, কৌতূহলী, এবং সমস্যা অনুসন্ধানী মনের একটি অভ্যাস এবং টেম্পারমেন্ট।
১. অঙ্ক তাহলে কী জিনিস?
গণিত হলো বিমূর্ত কাঠামোর বিজ্ঞান (Science of Abstract Structures)। এটি যুক্তি (Logic) এবং স্বতঃসিদ্ধ (Axioms/Rules) ব্যবহার করে নতুন নতুন জগৎ তৈরি করে এবং সেগুলোর অভ্যন্তরীণ ধারাবাহিকতা (Internal Consistency) পরীক্ষা করে।
Frege/Wittgenstein
এটি একধরনের নিখুঁত ভাষা বা নিয়ম খেলা।
Hilbert/Cantor
এটি হলো নিয়ম বানিয়ে খেলার মাধ্যমে নতুন বিশ্ব সৃষ্টি।
২. অঙ্ক কি কাজের জ্ঞান, নাকি অকাজের জ্ঞান?
অঙ্ক হলো কাজের জ্ঞান যা অকাজের (বিমূর্ত/অবাস্তব) জ্ঞান থেকে উদ্ভূত হয়।
অকাজের জ্ঞান
সেট তত্ত্ব, অসীম সংখ্যা, টপোলজি এগুলো মানুষের মনের বিমূর্ত কাঠামো।
কাজের জ্ঞান
যখন এই বিমূর্ত কাঠামোগুলি (যেমন, ক্যালকুলাস, রিম্যানিয়ান জ্যামিতি) বাস্তব বিশ্বের প্যাটার্ন (গ্রহের গতি, GPS ট্র্যাকিং, কোয়ান্টাম বলবিদ্যা) ব্যাখ্যা করতে পারে।
৩. অবাস্তব বিমূর্ত বিষয় কীভাবে বাস্তবের এত কাছাকাছি এলো?
এর মূল কারণ হলো অঙ্কের কাঠামোগত ধারাবাহিকতা (Structural Consistency) এবং কার্যকারণ সম্পর্কের সঠিক মানচিত্র তৈরি করার ক্ষমতা (Ability to Map Causality)।
অবশ্যম্ভাবী ধারাবাহিকতা
2+2=4 সব যুগেই, সব গ্রহে সত্য। অঙ্কের সূত্রগুলির এই সার্বজনীন ধারাবাহিকতা প্রকৃতিও অনুসরণ করে।
বিমূর্ততা এবং বাস্তবতা
গণিতবিদেরা যে বিমূর্ত কাঠামো (Structure) তৈরি করেন (যেমন: গ্রুপ, টপোলজি, ভেক্টর স্পেস), দেখা যায় বাস্তবতার বহু কিছু সেই একই কাঠামো দিয়ে গঠিত। যেমন
\sqrt{-1} (অবাস্তব সংখ্যা)
এটি বিমূর্ত হলেও, তড়িৎ প্রবাহ, কোয়ান্টাম বলবিদ্যা এবং তরঙ্গ বিশ্লেষণকে এটি ছাড়া ব্যাখ্যা করা যায় না। কারণ এটি দোলন বা ঘূর্ণন (Oscillation/Rotation) এর মতো প্যাটার্নগুলিকে নিখুঁতভাবে ধারণ করে।
কারণ
মন গড়া বিমূর্ত কাঠামোটি আসলে প্রকৃতির লুকানো নিয়মের প্রতিচ্ছবি। গ্যালিলিওর কথায়, "প্রকৃতি গণিতের ভাষায় লেখা।"
জাদু বল
এই জাদুকে "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences" বলা হয় (Eugene Wigner-এর উক্তি)। এর কারণ হলো, অঙ্ক প্রকৃতির নিয়ম আবিষ্কার করে না, বরং প্রকৃতিকে বর্ণনা করার জন্য সবচেয়ে যৌক্তিক এবং সামঞ্জস্যপূর্ণ ভাষাটি তৈরি করে। গণিত যখনই কোনো সামঞ্জস্যপূর্ণ নিয়ম তৈরি করে, প্রকৃতিতে কোথাও না কোথাও তা ব্যবহার করার জন্য একটি কাঠামো (Structure) পাওয়া যায়।

যদি কারো মাথায় দুনিয়ার সবকিছুই সমস্যা রূপে দেখা দেয়,যদি সবকিছুকে তুলনাযোগ্য করতে ইচ্ছে হয় কারো,যদি নিয়ম বানিয়ে খেলতে ইচ্ছে হয়,যদি প্যাটার্ন দেখলে আনন্দ পায়

অর্থাৎ সে অঙ্কে ভালো.......😃😃😃😃😃😃
এইটা curiosity থাকার রূপ 😃😃😃😃😃😃
এটা talent নয়।😃😃😃😃😃😃
এটা perception এর ধরন,😃😃😃😃😃😃
এটা reasoning এর অভ্যাস,🙏🙏🙏
এটা দর্শনীয় temperament।🙏🙏🙏

অঙ্কে কেউ ভালো হয় কি? অঙ্কে কেউ খারাপ হয় কি???একেক জন দার্শনিক/গণিতবিদ গণিতকে কী মনে করতেন এবং “অঙ্কে ভালো/খারাপ” ধারণা কোথায় দাঁড়ায় সেইসবের একেবারে condensed version।
একেক জন দার্শনিক/গণিতবিদ ১–২ লাইনে
গণিত কী? অঙ্কে ভালো মানে কী?

Frege
গণিত = pure logic-এর extension; সংখ্যা = logical object.
অঙ্কে ভালো → relation ও definition গুলোকে logical clarity-তে দেখতে পারা।

Euler
গণিত = pattern of simple objects (even abstract objects even invisible objects are related)formulas becoming infinite power.

অঙ্কে ভালো → জিনিসকে সহজ করে ফেলা; simplicity-র আড়ালে structure দেখা।

Laplace

গণিত = mathematics is a prediction machine; probability = মানব যুক্তির extension.
Patterns as predictions machines

অঙ্কে ভালো → uncertainty-কে পরিমাপ করতে পারা।

Galois

গণিত = symmetry এর সার্বজনীন ভাষা।search for symmetry everywhere.

অঙ্কে ভালো → সমস্যার গভীরে লুকানো structure detect করা।

Zermelo Fraenkel
গণিত = set theory language + axioms।

অঙ্কে ভালো → universe of mathematics কোন rule এ যুক্তি টা দাঁড়িয়ে আছে তা খুঁজে দেখা। প্রয়োজন হলে নতুন যুক্তি পথ তৈরি করা দরকার।

Einstein

গণিত = চিন্তার স্বাধীনতা; physics = তার constraint.
অঙ্কে ভালো → world এর hidden geometry অনুভব করা।

Tullio Levi Civita

গণিত = smoothness-কে formal করার কৌশল (tensor calculus).

অঙ্কে ভালো → রূপবদলের নিচে invariance খুঁজে পাওয়া।

Martin Löf

গণিত = constructible truth; proof = program.
অঙ্কে ভালো → গণিতবিদ যা দাবি করছেন, সেটা বানিয়ে বাকিদের দেখাতে পারা। প্রয়োজন হলে simulation তৈরি করে দেখানো।

Category Theorists

গণিত = relationships এর জগত; কেবল object নয়, morphism গুরুত্বপূর্ণ।object ও abstract হতে পারে। Morphism (relatedness গুলো ও) abstract হতে পারে তবে যুক্তি গ্রাহ্য হতে হবে রিলেশন গুলো। এবং সারা জীবন সত্য হতে হবে রিলেশন গুলো।morphism হচ্ছে গুরুত্বপুর্ন ধরনের relation যাতে কনভার্শন নিয়ে ও চিন্তা করতে হয়।
Are two objects Same upto isomorphism এই উচ্চতায় চিন্তা করার ক্ষমতা থাকতে হবে।
অঙ্কে ভালো → everything is the same up to structure বুঝতে পারা।

Type Theorists

গণিত = language of construction; সব কিছুই “type”.
অঙ্কে ভালো → যেটা প্রমাণ করছো সেটাই simultaneously একটা object।

Descartes
গণিত = স্পষ্ট ও স্বচ্ছ চিন্তার মাপকাঠি; spatial intuition-এর ভাষা।

অঙ্কে ভালো → confusion দূর করে logical consistent reasonable structure আনা।

Leibniz

গণিত = world-এর grammar; calculus = পরিবর্তনের ব্যাকরণ।
অঙ্কে ভালো → symbolic manipulation-l এ fluency।

Hardy
Uselessness is mathematics
Beauty but not useful is first condition of maths
গণিত = beauty; pure uselessness ই তার গরিমা।

অঙ্কে ভালো → elegance খুঁজে পাওয়া, not utility.

Ramanujan

গণিত = intuition এর divine spark.
অঙ্কে ভালো → pattern চোখে পড়ে, প্রমাণ পরে আসে।

Feynman

গণিত = playful reasoning + multi possibility opened all equally valid equally possible paths co exist path integral imagination।

অঙ্কে ভালো → weird ভাবে ভাবতে পারা।

Stuart Shapiro

গণিত = structural realism; সত্যতা → structure ই সত্য।

অঙ্কে ভালো → structure চিনতে পারা, বস্তু নয়।

Hilary Putnam
গণিত = conceptual scheme; সত্যতা সমাজ নির্ভর।

অঙ্কে ভালো → কোন framework-এ reasoning করছি সেটা ধরতে পারা।

Haskell Curry

If computer program runs then proof is complete
গণিত = logic = computation; proof = program (Curry Howard).

অঙ্কে ভালো → reasoning কে অ্যালগরিদমে ভাবতে পারা।

Turing

গণিত = computation of mind; গণনাযোগ্যতা = সত্যতার সীমা।
অঙ্কে ভালো → কোনটা possible আর কোনটা impossible সেটা বুঝতে পারা।

Church

গণিত = lambda calculus এর বিশুদ্ধ যুক্তি।syntax captures semantics।so meaning need to express with symbols recursions deductions following symbols manipulations

অঙ্কে ভালো → recursion ও abstraction ধরতে পারা।

Von Neumann

গণিত = model building machine; formal object = world simulator.where model is reasoning model which means logical mental model to do reasoning

অঙ্কে ভালো → বিভিন্ন system কে একই ভাষায় রূপান্তর করতে পারা।

Hamilton

গণিত = algebra of motion; space-এর emotion.

অঙ্কে ভালো → structure-কে continuous-এ extend করতে পারা।

Lagrange

গণিত = principle of least action; nature works optimally.

অঙ্কে ভালো → optimization চিন্তা করতে পারা।

Riemann

গণিত = possibility of geometry; space = idea.

অঙ্কে ভালো → alternative worlds imagine করতে পারা।

তাহলে অঙ্কে ভালো বলে কিছু আছে?

১. Russell viewpoint

সমস্যা না দেখলে গণিত নেই। সমস্যা খুঁজে দেখার ক্ষমতা না থাকলে অঙ্কে ভালো হওয়া যায় না কিছুতেই। সাহিত্যিক ও অঙ্কে ভালো। সেও সহজে মানুষ এর সমস্যা দেখতে পায়। মুছি ও অঙ্কে ভালো। সে ও জুতোর সমস্যা দেখতে পায়।

যাদের সমস্যা দেখার নেশা আছে → তারাই ‘ভালো’।

analogy
“হাগা পেলে হাগে” problem-pressure = mathematical birth.

২. Hilbert viewpoint

গণিত = rules বানিয়ে খেলা।

যে নিয়ম বানাতে পারে, সেটাই গণিতবিদ।

অঙ্কে কাঁচা/অঙ্কে পাকা = rule designer vs rule follower।
৩. Brouwer viewpoint

গণিত = construction of mind.
যারা rule সৃষ্টি করতে পারে অথবা নতুন reasoning এর গঠন সৃষ্টি করতে পারে তারাই অঙ্কে ভালো; অন্যরা spectator।
৪. Wittgenstein viewpoint
গণিত = language game।
অঙ্কে ভালো/অঙ্কে খারাপ নেই;
আছে rule following competence। কারো কারো আবার rule মনে থাকে না। কেউ কেউ হয়তো rule গুলো বিশ্বাস করেন না।
৫. Gauss viewpoint
devotion + pattern-sense।
“ভালো” = যার curiosity থামে না।
৬. Hadamard viewpoint
অঙ্ক আসে অবচেতন থেকে; incubation লাগে।
patience ছাড়া ‘ভালো’ হওয়া সম্ভব না।
৭. Polya viewpoint

গণিতে ভালো/খারাপ = myth.

যারা problem process জানে → তারা ভালো।
৮. Newton viewpoint
অঙ্ক = relentless obsession.

অঙ্কে কাঁচা/পাকা = you care vs you don’t care.
সুতরাং
“অঙ্ক” আসলে কী?

১. Pattern detection system
২. Reasoning support system
৩. Cognition uplifting system
৪. Rule making game
৫. World structuring language
৬. Comparison machine (সবকিছুকে তুলনাযোগ্য করা)
৭. Problem-making + problem-solving habit
৮. অবাস্তবের সাহায্যে বাস্তব ব্যাখ্যা
৯. Imagination-এর discipline
১০. দর্শনের অস্ত্র + ভাষার skeleton

তাহলে কেউ কি সত্যিই অঙ্কে কাঁচা/পাকা হতে পারে?
দার্শনিক উত্তর
না। অঙ্কে কাঁচা? অঙ্কে পাকা কি কে হয়? কাঁচা/পাকা সাংস্কৃতিক গালগল্প।
জ্ঞানতত্ত্বীয় উত্তর
হ্যাঁ যদি বলা হয় কেউ pattern দেখে, কেউ দেখে না।
মানসিক উত্তর
প্রত্যেকের reasoning habit আলাদা।
হয়তো পৃথিবীর পরিচিত reasoning system এর ও বাইরে গিয়ে দেখা ক্ষমতার প্রয়োজন হয়।

গভীর উত্তর
“A person is only as good as the problems he perceives.”
সমস্যা কে দেখা সমস্যা কেখুঁজেপাওয়া, সমস্যাগুলোর সমতা খোজা সমস্যাগুলোরমধ্যেলুকিয়েথাকাকাল্পনিকবস্তুকাল্পনিকফেনোমেনন কাল্পনিক নুওমেনন গুলোকে চিহ্নিত করে করে তাদের সংজ্ঞা দেওয়া তারপর তাদের মধ্যে লুকিয়ে থাকা সম্পর্কে বেঁধে বেঁধে দেখা→ reasoning activate → mathematics জন্ম নেয়।
তাহলে গণিতের জাদু কোথায়?

গণিত অবাস্তব নয় কিন্তু অবাস্তব জিনিস দিয়ে তৈরি যুক্তি
অবাস্তব গঠন (sets, limits, primes, symmetry, spaces)দিয়ে বাস্তবতা ধরার সবচেয়ে তীক্ষ্ণ যন্ত্র তৈরি করেছে।
এটাই গণিতের আসল জাদু
You imagine something that doesn’t exist,
and it explains everything that does.