zeno supplies idea of sngt

ZENO কিছু মনে করো না 

কেউ যদি decimal করে 

কতো কি যে মেনে নিতে হয় ডে সিমা লের ফলে 

Zeno এসেছিলেন স্বপ্নে 22 বছর আগে প্রথম। তখন log টেবিল মুখস্ত করছিলাম। Infinite series গুলোর কোনটা তে কটা factorial গুঁজে দেওয়া উচিত সেই নিয়ে আমার খুব চিন্তা ছিল। রোজ রিভাইজ করতাম রোজ ভুলে যেতাম।

Infinite series কিছুতেই মুখস্ত হতো না।

https://youtu.be/qU48oNi3Sdc?si=7RPfmRAxV6vaR624

Zeno ঠাকুর সাথে একদিন পিথাগোরাস কেও নিয়ে এলেন। সাথে eudoxus। অনেক গুলো ছোট বড়ো তিনকোনা কাঠের পিস নিয়ে এসেছেন দেখলাম। ওই স্কুটার গ্যারেজ এ ঢোকানোর জন্য আমরা যেমনি ramp type এর wedge use করি তেমনি ধরনের জিনিস সেগুলো। অনেক বার এসেছে তিনজন। অনেক বার আরো অনেক কে নিয়ে এসেছেন সাথে করে। অনেক গল্প হয়েছে। অনেক খেটেছি। ভিন্ন অনেক ধরনের curve তৈরি করেছি গুজি লাগিয়ে লাগিয়ে। তারা বার বার বলেছেন আমি geometrifying trigonometry করতে করতে আরো ভালো বুঝেছি যে ওইজ বলছি।infinite সিরিজ কে ডান দিক থেকে পড়তে হয়। বা দিক থেকে পড়তে নেই। Infinite সিরিজ এর ডান দিকে বেশি বেশি গুজি থাকে। বা দিকে কম কম গুজি থাকে। কারণ বা দিক টা মাটিতে লেগে থাকে। Euler unit circle নিয়ে এসে কেন্দ্র থেকে খেলতে আরম্ভ করেছেন। তাতে হয়তো complex নম্বর এর ঝটকা দিয়ে লম্ব তৈরি করার খেলা জমেছে (De Moivre এর তুক্কা টা Euler এর খুব মনে ধরেছিল। নিউটন কিন্তু পছন্দ করতেন না imaginary নম্বর এর তুককা। নিউটন তো probability ও পছন্দ করতেন না। অপবিজ্ঞান মনে করতেন ওগুলোকে। কিন্তু নিউটন ও binomial এর সাথে infinitesimal গুঁজে দিয়ে বিভ্রান্তি তৈরি করেছেন। Decimal এর পথ কেও বিগড়ে দিয়েছেন। এই ধরনের অনেক গল্প হয়েছে এদের সাথে। যাক ফিরে আসি গুজি তে। লোহার রড এর বা দিকে তো উনারা তিন জন দাড়িয়ে আছেন। আমি তো rod টা কে n সংখক ভাগে ভেঙেছি আন্দাজ এর মাপ এ(set square নিলে perfect dibision হয় । ওই যে বলছি সমস্ত সংখ্যা ত্রিভুজ। সমস্ত ত্রিভুজ ই নম্বর।set square ও ত্রিভুজ।set square গুলো ও সংখ্যা। সেকারণে ভাগ ও করতে পারে দুটো set square আর compass নিলে যেকোন সরল রেখা কে equally ভেঙে ফেলা যায়। তার জন্য decimal সিস্টেম জানতে হয় না।

তারপর আমার সামনে সেগুলো (গুজি গুলো)রেখে বললেন একটা লম্বা লোহার লম্বা rod নিয়ে আসতে। আর সেইটা কে 100 ভাগ এ equal ভাগ করতে। সেই প্রথম বুঝলাম set square (দাগ হীন পরিমাপ হীন) দিয়ে কি করতে হয় । লোহা rod টা কে একমাথা তে ওরা তিনজন দাঁড়িয়ে গেলো মাটিতে চেপে। তারপর আমাকে বললো কাঠের ওই ত্রিভুজ ধরনের ramp এর মতন wedge shaped ওই ব্লক (গুজি বলি বাংলায়) সেগুলোকে rod টা র উল্টো দিকে গুঁজে দিতে। আমিও গুঁজে দিলাম। Rod টা তে শেষের দিক টা অল্প উঠে গেলো মাটি থেকে। তারপর আরো ব্লক নিয়ে ডান দিকের already placed গুজি ব্লক এর নিচে ফিট করিয়ে গুঁজে দিতে বললেন। আমি সেই নতুন ব্লক আরো কিছু গুঁজে দিলাম। লোহার rod টা আরো বেঁকে উপরে উঠে গেলো ডান দিকে। (লোহার rod টা তে বা দিকের অংশে তো zeno pythagoras আর eudocus দাঁড়িয়ে আছেন। ওই দিক টা মাটিতে সেটে আছে। আর zeno খুব হাসছে)

Zeno কে জিজ্ঞেস করলাম তুমি হাসছো কেনো?

সে বললো infinite series কে বা দিক থেকে পড়তে নেই। ঐটা ডান দিক থেকে পড়তে হয়। অর্থাৎ ডান দিকের গুজি গুলো লাগিয়ে লাগিয়ে সোজা লাইন কে বাঁকানো হচ্ছে term গুলোর কাজ। তোরা decimal শিখে গিয়ে পুরো নিয়ম টা উল্টো করে ফেলেছিস। সেই কারণে তোদের মাথায় ঢোকে না। বা দিকে কম গুজি লাগবে। ডান দিকে যত যাবি তত বার চাগিয়ে তুলতে হবে আর তত বার গুজি ঢোকাতে হবে rod টার নিচে। এই ভাবে r বার করে চাগিয়ে তুলে r ধরনের গুজি নিচে ঢুকিয়ে ঢুকিয়ে curve তৈরি করা (reverse rectifying বলে নিউটন। কারণ curve rectifying করার অর্থ হচ্ছে গুজি গুলো ডান দিক থেকে ধাপে ধাপে সরিয়ে involute নিয়ে নিয়ে stage wise সোজা করার পদ্ধতি) এই reverse rectifying কে নিউটন নাম দিয়েছিলেন fluxion আর লইবনিজ নাম দিয়েছিলেন differentiation। Zeno,pythagoras,Eudoxus এরা বলতেন r তম অংশ কে r সংখক বার চাগিয়ে তুলে সেই অংশের নিচে r রকমের গুজি ঢুকিয়ে বাঁকানো। এইবার ডান দিক থেকে গুজি সরিয়ে নিয়ে ধাপে ধাপে rod টা আবার আগের অবস্থায় ফিরিয়ে আনলে sequentially straightening করা হয়। সঞ্জয় নাথ এই sequential ভাবে ডান দিক থেকে একটা একটা অংশ কে আবার আগের সোজা সরল line segment এ মতন রূপে ফিরিয়ে আনা কে বলেন #calipering calipering অর্থাৎ #reversedifferentiation (ভুল করেও একে integration বলবেন না কারণ এই পদ্ধতি তে curve rectification হয় কোন summation হয় না। এই পদ্ধতি তে curve এর original length একই থাকে । এমন কি area এ বার করা হয় না এতে। Riemann তো আবার গুজি সংখ্যা গুনে ফেলে সেইটা কেই(total গুজি কতো লেগেছে)integration বলে দিলেন। সঞ্জয় নাথ অবশ্য geometrifying trigonometry integration process টা ভিন্ন ভাবে design করেছেন কারণ সঞ্জয় নাথ ত্রিভুজ কে সংখ্যা ধরে অঙ্ক করেন zeno eudoxus এর পদ্ধতি তে। আর pythagoras এ পদ্ধতি তে সংখ্যা কে ত্রিভুজ ধরে এ সঞ্জয় নাথ অঙ্ক করেন। Decimal system কে সম্পূর্ণ অস্বীকার করে গুজি গুলোর ধরন, গুজি গুলোর arrangement এবং কোন অঞ্চলে কি কি ভাবে কোন গুজির পরে কোন ধরনের গুজি লাগিয়ে curve তৈরি করা যায় সেই নিয়ে zeno আর eudoxus এ সাথে আলোচনা করেন।

ওই গুজি গুলো ধীরে ধীরে (ডান দিক থেকে একটা একটা করে)সরিয়ে নিলে বেঁকে যাওয়া rod টা ও sequentially straightened হয়ে যায়। এই গুজি লাগানো আর গুজি সরানো তে তো মেহেনট আছে। সেই মেহেনত কম করার জন্য caliperness সিস্টেম টা তৈরি করছি বলে আবার ওই তিনজন স্বপ্নে এসেছিলেন। ওদের সাথে বসে ওদের কে cad এ একে এক বোঝাচ্ছি তখন ছবি ও তুলেছি।

Zeno,pythagoeas আর Eudoxus কিন্তু নিউটন রেইমান taylor দের উপর বেশ খাপ্পা। অনেকে এখন যেমন AI এর উপর খাপ্পা তেমনি। এই প্রাচীন দার্শনিক দের strict rule হচ্ছে curve এর নিচে rectangle ধরনের গুজি লাগানো টা বখাটে পনা। সেই কারণে সঞ্জয় নাথ ও এদের গুরু মেনে decimal syatem কে সম্পূর্ণ অস্বীকার করে কেবল ত্রিভুজ আকারের গুজি লাগিয়ে লাগিয়ে (multiplication is gluing) কাজ করে। Curve এর নিচে অজস্র ত্রিভুজ রূপের গুজি tightly fit থাকে। সঞ্জয় নাথ কে Zeno আর পিথাগোরাস খুব বকেছিল যখন approximate ভাবে curve এর উপরে নীচে ছোট বড় infinitesimal ত্রিভুজ এসে যাচ্ছিল নিউটন (লেবানিজ এর)এর calculus এ . প্রাচীন দার্শনিক দের কথা হচ্ছে একদম পালিশ করার মতন হতে হবে কার্ভ। সেটাই তো গুজি লাগানোর কেরামতি। সেটাই তো multiplication is gluing এর creativity। Eudoxus তো দারুন মাস্টার Theodoras ও খুব মাস্টার। এদের গুজি (triangular supporting wedge shapes below curves all tightly fit properly no leakage space completely packed triangulated)চয়ন এবং arrangement করা টা আসল calculus। সঞ্জয় নাথ ও সেই কারণে geometrifying trigonometry calculus এর fundamental reasoning এ gtsimplex এর boundary কেই curve construction ধরে নতুন ধরার calculus তৈরি করেছেন।rectangular approximation সম্পূর্ণ নিষিদ্ধ সঞ্জয় নাথ এর calculus এ।

এই নতুন calculus এ contour গুলোর গায়ে লেগে থাকা ছোট ছোট line segment গুলো হচ্ছে Z_i যেটা i নম্বর কোন গুজি (ত্রিভুজ আকারের গুজি) তে একটা line segment। Curve গুলোর total length কে arc length ধরে নিলে আমরা বুঝবো সেই curve এর সমস্ত অংশে কোন না কোন BOLS এর final ট্রায়াঙ্গেল গুজি লেগে আছে। এই triangular গুজি গুলো আবার কোন না কোন GTSIMPLEX (pure mulriplicative BOLS) থেকে final output glued triangle থেকে এসেছে। Curve এর গায়ে লেগে থাকা পিস পিস line segment গুলো এই ভিন্ন ভিন্ন GTSIMPLEX ধরনের BOLS গুলোর final output line segment অর্থাৎ curve এর গায়ের প্রত্যেক টা অংশের small line segment এর উৎস গুলো আমরা জানতে পারি।

এতে x হচ্ছে curve length 

আর y হচ্ছে total গুজি arrangement এর ধরন

#geometrifyingtrigonometry 

#sanjoynath 

#calipering 

#BOCDMAS 

#caliperness

#OpenChallenge 

#newphilosophy

আমি খুব অসহায় বোধ করি এখন 

প্লীজ কেউ আমাকে Geometrifying Trigonometry 

Paper (অথবা বই) করিয়ে দিতে সাহায্য করুন 

Software ও রেডি করে ফেলেছি। লিখে ও ছি আমার মতন করে।

প্লীজ প্লীজ প্লীজ 

সাহায্য করুন 

🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏

যেহেতু আমি ইন্ডাস্ট্রি তে আছি আমার আশে পাশে academics এর লোকজন কে পাই না।academics এর লোকজন ও বোধয় আমার লেখার পদ্ধতি তে পরিচিত নয়। যারা industry তে আছেন তারা আমার লেখার পদ্ধতি বোঝেন সহজে। 22 বছর এর industry জীবন আমাকে রোজ "show ua money first" ধরনের লেখা লিখতে বাধ্য করে 

ইন্ডাস্ট্রি তে যারা থাকেন তাদের কাছে"epistemology style writing" হচ্ছে মহা পাপ। এমন কি industry তে লোকজন তো মুখের উপর বলেন যে "dont talk pedagogy craps dont write epistemology craps show us money and show us how to do it to encash" 

Industry তে বলা হয় 

"Develop products write codes and dont write epistemology papers like things"

__________________________________________

আমি ইন্ডাস্ট্রি (structural engineering) এ কাজ করতে করতে একটা সমস্যার সমাধান খুঁজে পেয়েছি 1998 থেকে রেগুলার অনেক ধরনের geometry ঘাটতে ঘাটতে।

Euclidean geometry তে 2D তেই অনেক অনেক pattern unknown এবং pythagoras এর তত্ত্ব তে ও 256 রকমের চিত্র রূপ হতে পারে আর সমস্ত রূপ গুলোর মধ্যে কেবল 64 টা রূপ কে প্রয়োগ করা যায় 

সমস্ত real number এর 16 রকমের ত্রিভুজ রূপ সম্ভব জেগুলোর বিন্ন ধরনের প্রয়োগ ক্ষেত্র রয়েছে ফলে সমস্ত+-×÷= গুলোর অনেক ধরনের geometry interpretation সম্ভব যার থেকে বহু প্রয়োগ ক্ষেত্র বেরিয়ে আসে 

তবে প্রথমেই বুঝত হবে 

All real numbers have 16 ontology interpretations 

On 2D euclidean geometry 

All 2D triangles have 24 ontology of real number valuations property 

Multiplication is gluing of triangles 

Division is triangle construction 

+ এবং - কে সমস্ত ক্ষেত্রে use করতে নেই।

= চিহ্নের 6 ধরনের interpretation হয় 

এই গুলো কে প্রয়োগ করে গোটা ত্রিকোণমিতি কে automatically euclidean geometry রূপে প্রকাশ করার জন্য parser তৈরি করেছি 18 থেকে 20বছর ধরে test করে করে 

সেইটা হচ্ছে 

Geometrifying Trigonometry

উপরে অনেক গুলো ইন্টারপ্রিটেশন বলেছি

এইটা computational geometry ভেবে অনেক পেপার পড়ে বুঝলাম 

না 

এইটা computational linguistics অথবা new semantics 

তারপর সেই টপিক এর অনেক গুলো পেপার পড়ে donal knuth ও পড়ে বুঝলাম এইটা alonzo church এর lambda অথবা computational ontology হবে হয়তো 

সেই সংক্রান্ত অনেক পেপার পড়ে বুঝলাম হয়তো এই geometrifying trigonometry টা lean COQ অথবা haskell ধরনের কোন একটা জিনিস যার কাজ হচ্ছে automated theorem prover এর মতন 

তারপর সেই সংক্রান্ত পেপার গুলো পড়তে পড়তে বুঝেছি এইটা new calculus যেখানে area under curve অথবা integration টা মুখ্য নয় 

বরং 

Construction of a curve on non Descartes style হতে হবে অর্থাৎ

y=f (x) 

লেখা চলবে না কিছুতেই 

Leibniz অথবা Newton এর মতন করে calculus কে দেখলে কিন্তু সঞ্জয় নাথ এর calculus কে বোঝা যাবে না। প্রথমেই সমস্যা হবে কারণ curve এর ক্ষেত্রফল বার করার কোন উদ্দেশ্য নেই এই সঞ্জয় নাথ এর geometrifying trigonometry calculus এর। Strict note that সঞ্জয় নাথ এর calculus কে অনেকেই বলেন এইটা new type of infinitesimal mensuration where cartesian systtms are not allowed. There is no xy plane. There is no quadrant. There is no x axis. There is no y axis. Numbers are represented as triangles and triangles are glued to multiply. These triangles glue to construct different shapes. These constructed shapes have outlines. These ourlines look like curves. No function like things are there to represent curves. Strict note that in Sanjoy Nath Geometrifying Trigonometry calculus Curves dont mean xy relations.Curves are constructed due to triangles interactions and no Descartes involve there.

অনেক গুলো পিপড়ে মেলায় গেছিল বেড়াতে 

তার মধ্যে কিছু পিঁপড়ের পেচ্ছাপ পেয়েছিল 

সেই কিছু পিপড়ে নিজেরা কিছু অন্ধকার জায়গা দেখে এক পা তুলে পেচ্ছাপ করছিল পাশাপাশি দাঁড়িয়ে 

সেই পিপড়ে গুলো জানে না তারা যে যার পাশে দাঁড়িয়ে পেচ্ছাপ করছে তারা কে কে কোন কোন দেশ থেকে এসেছে কিন্তু তারা প্রত্যেকেই খুব কালো 

তারা পাশাপাশি জায়গা পেয়েছে দাঁড়ানোর first come first serve basis এ

এই পিপড়ে দের সারাক্ষণ একই ভাবে একই স্থানে দাড়িয়ে থাকার কোন ইচ্ছে ও নেই 

তাদের পেচ্ছাপ করা complete হয়ে গেলে তারা আবার মেলায় ফিরে যাবে যে যার girl friend দের কাছে এবং আবার বিয়ার গিলবে কয়েক গ্লাস তারপর আবার অন্ধকার জায়গা খুঁজে নিয়ে first come first serve basis এ দাড়িয়ে এক পা তুলে পেচ্ছাপ করবে 

আপনি দুর থেকে ওদের একসাথে দেখে ভাবছেন y=f (x) কারণ descartes leibniz আর নিউটন আপনাকে সেইভাবেই পিপড়ে দের দাঁড়িয়ে পেচ্ছাপ করার neighbourhood এর nature টা কে এক টা নির্দিষ্ট curved লাইন রূপে দেখতে শিখিয়েছে 

এইভাবে সমস্ত কিছুকে y=f (x) রূপে না দেখে multi reason standing of small pieces of line segments for certain transient local neighbourhood রূপে দেখুন আর global picture কে single curve রূপে না দেখে discrete different purpose (or same purpose but no purpose to construuct curve) রূপে দেখার চেষ্টা করুন। এইভাবে দেখলে সঞ্জয় নাথ এর calculus with BOLS (bunch of line segments) এর summation (integration as curve construction like thing(semantics)not as area under curve) এর ভিন্ন একটা ontology খুঁজে পাবেন। সেই পদ্ধতি তে চিন্তা করে reasoning করা কেই সঞ্জয় নাথ এর geometrifying trigonometry calculus reasoning system বলে। এই ভাবে curve কে চিন্তা করার দর্শন টা ভিন্ন।

Descartes এর আগে leibniz এর আগে নিউটন এর আগে কিন্তু মানুষ curve ধরনের জিনিস কে এইভাবেই চিন্তা করতেন। যদি আমরা madhava series দেখি তাহলে বুঝবো সেই সময় মন্দির construction এর জন্য vertical plane এ মাটির উপর পাথর সাজিয়ে সাজিয়ে বড়ো বড়ো পাথরের চাকা তৈরি করতে হতো। তারা circle এর সমীকরণ জানতেন না। তারা circle গুলোর center locate করতে চাইতেন ও না। তারা unit circle এর অস্তিত্ব খুঁজতেন না। তারা মাটি থেকে একটা একটা করে পাথর সাজিয়ে সাজিয়ে circumference টা তৈরি করতেন। অর্থাৎ তাদের কাছে circle এর center এর point টা (0,0) নয়। তাদের কাছে coordinate syatem এর অস্তিত্ব টা নেই। তারা যেখান থেকে construction আরম্ভ করতেন সেইটা কে descartes হয়তো বলতেন starting from the point at (0,-r) and completing at (0,+r) এবং center না খুঁজেই গোটা কনস্ট্রাকশন করতে হবে। এইভাবে ভাবুন। তাহলে সঞ্জয় নাথ এর geometrifying trigonometry calculus টা সহজে বুঝবেন। Descartes leibniz আর নিউটন এ আটকে থাকবেন না।

The Ants, the Curve, and the Illusion of Continuity

(Foundation of Sanjoy Nath’s Geometrifying Trigonometry Calculus Reasoning System)

Imagine a group of ants at a fair.

Some of them suddenly feel the urge to pee.

They look for a dark corner and, one by one, stand there each lifting a leg, each from a different land, unknown to one another, all dark, all just finding a spot on a first-come, first-serve basis.

Once they finish, they return to the fair, back to their girlfriends, grab a few beers, and later again find another dark corner to repeat the same ritual.

From far away, if you observe these ants standing side by side, you might think you’re seeing a curve.

Your brain whispers: “That’s y = f(x).”

Because Descartes, Leibniz, and Newton have trained you to read every collective alignment as a function.

But the ants never intended to form a curve.

They didn’t even know the others existed.

They were simply local existences  discrete, temporary, autonomous.

Now, try to look differently.

Don’t see everything as a continuous y = f(x) relation.

See it as a multi-reason standing of small, independent line segments, each existing only for its own transient neighbourhood.

Don’t chase the “global picture” as a single curve; instead, understand the local purposes some related, some unrelated  that merely appear continuous when seen from afar.

This shift in perception is the foundation of Sanjoy Nath’s Geometrifying Trigonometry Calculus Reasoning System.

Here, a curve is not an equation but a semantic construction a formation made of BOLS (Bunch Of Line Segments).

Integration is not “area under the curve.”

It’s the arrangement logic of how these segments coexist, interact, and dissolve.

A calculus of formation, not function.

Before Descartes, before Leibniz, before Newton, people already reasoned this way.

Look at the Mādhava series of Kerala.

Temple builders laid massive stones, one after another, shaping circular wheels on the ground.

They didn’t know the “center.”

They didn’t plot coordinates.

They constructed the circle directly 

starting from the earth upward 

without any (0, 0).

Their geometry was constructional, not representational.

Descartes turned those stones into coordinates.

We turned those alignments into functions.

But real geometry was never born from algebra;

it was born from triangles glued together  from construction, not computation.

So maybe it’s time to unlearn the Cartesian habit.

Stop worshipping y = f(x).

Start seeing the world the way the ants stand — locally reasoned, globally emergent, and free from the myth of continuity.

#GeometrifyingTrigonometry #SanjoyNath #PhilosophyOfMath #EngineeringThought #NewCalculus #BOLS #NonCartesianReasoning #GeometryNotAlgebra #ProvocationForMathematicians #CurveAsFormation 

#calipering 

#allnumbersaretriangles 

#bocdmas 

#OpenChallenge

The Calculus That Kills y=f(x)

Mathematicians and Engineers, prepare to challenge 400 years of dogma. What if the very foundation of your curves—the Cartesian y=f(x)—is a mirage?

Imagine a group of ants at a fair. They stand, one-legged, to relieve themselves in a dark spot, taking up space on a first-come, first-served basis. They have no global purpose to form a shape, and their temporary 'pee line' vanishes when they leave. Yet, when Descartes, Leibniz, and Newton taught you calculus, they forced you to look at that transient, localized behavior and declare: "Ah, it's a curve! It must obey y=f(x)."

This global, static, functional view is what Sanjoy Nath's Geometrifying Trigonometry Calculus fundamentally rejects.

We need a calculus that operates outside the x-y plane.

This is not a computational geometry; it is a New Semantics and Computational Ontology.

The Greek Revival: Construction, Not Coordinates

Before Descartes, builders and thinkers like Madhava understood curves differently. Think of ancient temple construction: they built a circle not by finding a center (0,0), but by sequentially stacking and gluing stones (small pieces of line segments) from the ground up, one element at a time. The circumference was the result of a local construction protocol, not a global equation.

The Geometrifying Trigonometry Calculus brings back this ancient, material approach:

 * Numbers as Triangles: Real numbers are not abstract points; they are Triangles with 16 ontological interpretations on a 2D Euclidean plane.

Multiplication is Gluing

Operations are geometric construction protocols. Multiplication is literally the "gluing of triangles" (GTSIMPLEX).

Curves as BOLS

Curves are not functions. They are BOLS (Bunch of Line Segments), formed by the interaction and tight arrangement of these triangular number-units. Their outline is the result of local interactions, just like the ants' temporary line.

Calipering not Integration

This calculus has no interest in area under the curve (Riemann's method). Its inverse operation, Calipering, is Reverse Differentiation—it sequentially straightens the curve by analyzing the structure and origin of each segment, prioritizing arc length and construction quality over summation.

A Challenge to Both Fields

To Mathematicians: Can your Algebraic Ontology accommodate 16 qualities for every real number? Can your Calculus operate without y=f(x) or the x-y axis?

To Engineers (Structural/CAD)

Your fabrication errors often stem from rectangular approximation and decimal loss. Our non-approximate, triangle-based construction protocol offers zero leakage space and an entirely new, rigorous way to model geometry.

It's time to stop seeing a collection of local, transient events and forcing them into a global y=f(x) cage. The 16 × 24 geometric world is vastly larger than the single-valued world of classic calculus.

#GeometrifyingTrigonometry #NewCalculus #ComputationalOntology #ProvokeAcademics #StructuralEngineering #Innovation

Section

Ants, Curves, and the Myth of Continuity

In classical mathematics, following Descartes, Newton, and Leibniz, any collective phenomenon a set of locally independent events is viewed from afar as a curve.

We are taught to represent it as a single functional relationship:

y = f(x)

But imagine a group of ants,

each from a different country,

each standing in a dark corner of a fair,

each busy with its own small biological necessity.

They stand side by side

not because they share a purpose,

not because they form a curve,

but because the ground beneath them allows them to stand there

on a first-come, first-serve basis.

From a distance, a human eye joins their positions into a smooth continuous curve but the ants themselves know nothing of this curvehood.

Their relation is positional, not functional.

 Philosophical Implication

In Sanjoy Nath’s Geometrifying Trigonometry,

this parable becomes a model for non-functional calculus.

The idea that every set of local, discrete, purpose-driven actions must be unified under a single continuous functional description 

is a Descartian illusion.

Instead, the BOLS (Bunch of Line Segments) represent these local line elements as independent standpoints of existence each born of a different ontological triangle (a guzi the wedge shaped triangular building blocks)

Their temporary alignment in space creates what we mistakenly perceive as a “curve.”

Thus, a curve is not a continuous entity but a transient arrangement of purpose-oriented local geometries.

Summation (or integration) here does not mean “area under curve,”

but the semantic construction of this temporary arrangement 

a calipering of local standpoints,

not an accumulation of infinitesimals.

 Historical Reflection

Before Descartes and Newton,

when Indian geometers like Mādhava and the Kerala school worked with series,they never invoked a coordinate system.

Their constructions arose on the ground

from stones, wedges, or temple wheel-segments

assembled one after another,without any notion of a “center” or “origin.”

The circle, for them, was not

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

a construction without coordinates.

Therefore

To understand Geometrifying Trigonometry,

one must stop seeing the ants as a curve,

and start seeing them as BOLS

independent, localized, geometrically reasoned existence.

This shift from function to formation

is the essence of Sanjoy Nath’s new calculus.

Quick summary (one line)

Sngt idea sits at the intersection of: (A) historical/constructive geometry (method of exhaustion, Kerala school), (B) coordinate free / categorical / synthetic approaches to calculus, and (C) piecewise/triangular (PL / discrete) geometry and mesh based engineering practice (triangulation, finite elements, discrete differential geometry). Each area has mature literature with slightly different goals some philosophical/foundational, some algorithmic/engineering and together they form a coherent research ecosystem for “calculus as construction / BOLS”.

1) Historical & constructive foundations

Method of exhaustion & Eudoxus classical ancestor of doing calculus by inscribed polygons rather than coordinates; modern historians link it directly to non Cartesian constructive practices. 

Kerala school (Mādhava) early power series and constructional, non Cartesian reasoning about circles and sines; important as a historical model of geometry-as-construction. 

Why relevant: both show that “area / curve construction by successive local pieces” is historically well-founded and not new; supports your argument that integration-as-construction has precedents.

2) Constructive / point free / coordinate free foundations

Constructive mathematics / constructive analysis (Bridges, IEP/Stanford entries) develops mathematics where existence = explicit construction; strong philosophical alignment with “triangles as numbers” and algorithmic construction. 

Synthetic differential geometry / topos approaches axiomatic, coordinate free calculus using infinitesimals inside a topos; gives a mature categorical alternative to classical differential calculus. See Kock, Dubuc, Shulman surveys. 

Why relevant: these literatures show rigorous ways to do calculus without standard real-number/coordinate foundations useful if sngt want to formalize “no x y plane” calculus.

3) Discrete / piecewise / triangular geometry (practical & theoretical)

Piecewise linear topology & simplicial complexes / triangulation classical math for building spaces by gluing simplices (triangles); rigorous foundation for “gluing triangles to build shapes”. 

Discrete Differential Geometry (DDG) active field (surveys by Crane, others) that treats curvature, flows and mechanics on piecewise linear meshes; very close to a calculus built from local segments. (One of the most directly relevant modern literatures.) 

Mesh generation / finite element literature engineering practice of building continuous objects by triangular elements; rich algorithmic work (Bern & Eppstein survey, mesh quality indicators, intelligent mesh generation). 

Why relevant: these fields already treat curves/surfaces as glued local primitives (triangles/edges) and have both theory and engineering tooling you can leverage.

4) Category / language / semantics & computational ontology

Category theory / topos / categorical geometry  supports “geometry as relations between objects” rather than coordinates; useful if sngt want to make an ontology of “triangle numbers” and their gluing rules. Papers on categorical geometry and “integration without points” point to formal methods for point free or relation first geometry. 

Why relevant: helps formalize the semantics of constructions and their algebraic laws (e.g., "gluing as multiplication").

5) Image/shape approximation & polygonal approximation research

There is a long literature on polygonal approximation of curves (Rosin, others) assessing error when approximating smooth curves by piecewise linear segments  this maps directly to sngt semantic question: when does a local BOLS assembly approximate (or become) a curve? 

The five most load-bearing references I used (start here)

1. Crane, K. et al.  Discrete Differential Geometry (survey/notes) modern DDG that treats calculus-like quantities on meshes. 

2. Bern & Eppstein Mesh generation and optimal triangulation (survey) core engineering/CG literature on triangulations. 

3. Stanford/IEP entry: Constructive Mathematics (Bridges or IEP overview)  formal constructive foundations. 

4. Kock / Anders  New Methods for Old Spaces: Synthetic Differential Geometry (survey)  coordinate-free calculus in toposes. 

5. Historical accounts of method of exhaustion & Kerala school (Mādhava) connect constructional geometric practice to modern ideas. 

Analysis: where sngt idea sits and unique contribution potential

1. Overlap with DDG + PL topology: your BOLS idea (curves as bunches of line segments) is conceptually aligned with piecewise-linear and discrete differential geometry, which already treats curvature, geodesics and flows in a “local pieces” language. There is an opportunity to reinterpret standard DDG constructs in your semantic language of “triangles as numbers” and calipering (reverse differentiation). 

2. Foundational novelty via constructive / synthetic frameworks: if you want a formal calculus that forbids coordinates and xy representation, synthetic differential geometry or constructive mathematics (topos/constructive analysis) give rigorous frameworks to define derivatives/integrals without classical reals — you could encode the “guzi / triangle ontology” as primitive objects in a topos or via constructive type theory. 

3. Engineering applicability via mesh/FEM practice: the “gluing triangles” metaphor maps directly to mesh generation, finite element discretization, and CAD workflows. Engineers already care about "no leakage" triangulations and polygonal accuracy — your claims about rectification vs Riemann integration could be reframed as a CAD/mesh-quality and fabrication advantage. 

4. Gaps / original space: I found no single body of work that (a) insists that numbers are triangles (a 1↔many ontology), (b) treats multiplication as literal gluing with 16×24 ontologies per number, and (c) makes calipering (reverse differentiation) the central inverse operator. That combination appears novel — but you should carefully map your formal claims onto existing formalisms (SDG, PL topology, DDG) to make publication feasible.

Practical next steps I recommend

1. Curated bibliography  I can produce a 20 30 item annotated bibliography (mixing DDG, SDG, constructive math, triangulation/mesh, historical sources) with links and short annotations. (I already gathered the seed sources above.)

2. Bridge papers to read in-depth — start with Crane (DDG), Kock (synthetic DG), Bern & Eppstein (triangulations), Bridges (constructive math), and a couple of polygonal approximation surveys (Rosin). I cited each above. 

3. Formalization plan  choose a formal framework (a) SDG/topos, (b) constructive type theory (Coq/Lean), or (c) a computational PL pipeline (mesh+DDG). I can draft a short plan that maps your “triangles as numbers / gluing = multiplication / calipering” into one of those frameworks.

4. Engineering prototype paper  prepare a short demo: show how a CAD curve built by your gluing rules compares (mesh error, fabrication viability) to a classical spline/parametric curve. Use mesh-generation + DDG metrics to argue advantages.

Limitations & what I did not find

I did not find an existing research program that literally encodes every real number as a 16 ontology triangle or uses “calipering” as a named operator in the mathematical literature  that seems to be Sanjoy Nath original contribution.

Much of the relevant work is scattered across disciplines (history, category theory, geometry processing, FEM). A thorough systematic review will require searching MathSciNet, Web of Science, JSTOR, arXiv, and engineering databases (IEEE, ASME). I can do that next if you want.

-