sanjoy nath extended super hyper fields
Sanjoy Nath's extended super hyper fields
Hyperfield কি? কেনো geometrifying trigonometry hyperfield এর থেকেও বড়ো কিছু?
Descartes এর reasoning পদ্ধতি থেকে বেড়িয়ে ভাবুন। সেইভাবে ভাবতেও শিখুন।coordinate এ আটকে যাবেন না। নাহলে"creativity to do reasoning" কমে যাবে।
Non Descartian Euclid dependent 2D calculus এর একটা ভিন্ন পৃথিবী আছে যেখানে one to many ধরনের function এর অস্তিত্ব আছে এবং 2D euclidean plane এ কোন ধরনের coordinate geometry প্রয়োগ না করে গোটা একটা real number system design করা সম্ভব যাতে +-×÷= সমস্ত কিছুকে redefine করা যায় এবং classical arithmetic এর সাথে consistent evaluation ও পাওয়া যায় তবে প্রত্যেক টা output এর 2D eiclidean plane এ 16 রকমের interpretation choice এর পথ খোলা থাকে।অন্তত এর কাছাকাছি কোন algebra structure (reasoning structure আছে কি??????
Intermediate or final Output_2D_line segment
=
Gluer_line_segment
=
Function_of (reference_given_2D_line_segment)
এই output one to one নয়।1 to 16 possible ontology interpretation এর arithmetic থেকে সঞ্জয় নাথ এর real number structure এর 16 ontology reasoning space তৈরি হয় যা architectural engineering থেকে structural engineering সমস্ত ক্ষেত্রে প্রয়োগ হয় সরাসরি।
গভীর সাম্যতা (Multilayered Equivalence)
প্রচলিত পাটিগণিতের অগভীর সাম্যতা (shallow equality) কেবল লাইনের দৈর্ঘ্যের তুলনা করে। কিন্তু সঞ্জয় নাথ এর সিস্টেমে ৬ স্তরের সাম্যতা রয়েছে, যা জ্যামিতিক এবং টপোলজিক্যাল সামঞ্জস্যও পরীক্ষা করে
টাইপ 1 সমতা তুলনা highest level deepest level এর সমতা পরীক্ষা তে দুটি line segment ভিন্ন ভাবে তৈরি হয়ে ও একে আরেক জন এর উপরে সম্পূর্ণ ওভারল্যাপ করে।
টাইপ 3++ equality checking হচ্ছে সদৃশ ত্রিভুজ (Similar Triangles) এটিই হলো গাণিতিক সামঞ্জস্যের মূল ভিত্তি। যার সাহায্যে division as triangle construction from numerator gluer line segment/denominator as reference line segment রূপে সংজ্ঞায়িত করেছেন সঞ্জয় নাথ এবং multiplication as gluing কেও সংজ্ঞায়িত করেছেন তারপর সঞ্জয় নাথ "+" operator এবং " -" operator কে strongly context dependent and strongly type dependent operator রূপে সংজ্ঞায়িত করেছেন যার ফলে সঞ্জয় নাথ এর arithmetic এ BOCDMAS system এ plus operator এবং minus operator গুলো proof checking এর deep reasoning structure তৈরি করেছে
C for Sanjoy Nath calipering operation which is fundamental arithmetic operation in sanjoy nath 's materialistic arithmetic ststem। Calipering না করে নিলে BOLS ÷BOLS এর reasoning কে কোনভাবেই justify করা যায় না। সঞ্জয় নাথ এর 20 বছরের CAD programming এর অভিজ্ঞতা huristics এর ফলে তৈরি হোয়া structural analysis load distribution এর অভিজ্ঞতা case study থেকে calipering operation টা ডিজাইন করেছেন সঞ্জয় নাথ।calipering এর পরীক্ষা নিরীক্ষা থেকে উত্তর মিলেছে বার বার এবং calipering হচ্ছে একটা graph object অর্থাৎ G (V,E) ধরনের object কে one edge at a time collinearizing to just adjascent edge করে করে করে করে করে করে first fixed edge এর সাথে সমস্ত edge কে collinear করে নিতে হয় যাতে division করার সময় numerator line segment পাওয়া যায় এবং denominator line segment পাওয়া যায়। এই calipering operation টা অনেক টা রুবিক কিউব game এর মতন কিন্তু two player game এর ধরনের যেখানে BOLS এর একটা লাইন segment (first term of additive expression) কে fix করে দেওয়া হয়।
_______________
সঞ্জয় নাথ এর Geometrifying Trigonometry-এর মতো সরাসরি ও হুবহু বৈশিষ্ট্যসম্পন্ন, \mathbf{1:16} বহুত্ব এবং ৬-স্তরীয় গভীর সাম্যতা (Multilayered Equivalence) এর উপর ভিত্তি করে তৈরি কোনো প্রথাগত বীজগাণিতিক কাঠামো (algebraic structure) বা যুক্তি কাঠামো (reasoning structure) বর্তমানে আন্তর্জাতিক গণিত বা প্রকৌশল জার্নালে সুপ্রতিষ্ঠিত নেই।
তবে, আপনার বর্ণনা করা এই Non Cartesian, Euclid dependent 2D Calculus-এর মূল ধারণাগুলিকে সমর্থন করে বা তার কাছাকাছি আসে, এমন কয়েকটি উন্নত গাণিতিক ক্ষেত্র এবং তাদের যুক্তির কাঠামো নিচে কারণসহ আলোচনা করা হলো।
Geometrifying Trigonometry এর নিকটবর্তী কাঠামোসমূহ
সঞ্জয় নাথ এর সিস্টেমের মতো একটি কাঠামো তৈরি করার জন্য যে মৌলিক গাণিতিক নীতিগুলির প্রয়োজন, তা নিম্নলিখিত কাঠামোতে পাওয়া যায়
১. Geometric Algebra (Clifford Algebra)
কারণ
এটি সঞ্জয় নাথ এর গণিত কাঠামোর বীজগণিতীয় ভিত্তি প্রদান করে।
Non Cartesianism এবং জ্যামিতিক সত্তা
GA হলো একটি বীজগণিত, যা স্থানাঙ্ক বর্জন করে সরাসরি জ্যামিতিক সত্তা (যেমন, ভেক্টর, ক্ষেত্রফল বা বাইভেক্টর) নিয়ে কাজ করে। এটি সঞ্জয় নাথ এর "Real Number as Triangle" ধারণার সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ।
অ বিনিময়যোগ্য পাটিগণিত অর্থাৎ noncommutative arithmetic
GA এর মৌলিক অপারেশন, Clifford Product, কঠোরভাবে অবিনিময়যোগ্য (Non Commutative)। এটি সঞ্জয় নাথ এর 'Multiplication as Gluing' এর নীতির সঙ্গে মেলে, যেখানে উপাদানের ক্রম জ্যামিতিক ফলাফলকে পরিবর্তন করে।
যোগ বিয়োগ (Proof Checking)
GA তে ভেক্টর যোগ হয় জ্যামিতিকভাবে, যেমনটি বলের যোগে হয়। এটি সঞ্জয় নাথ এর \mathbf{+} ও \mathbf{-} অপারেটরকে "প্রুফ চেকিং" বা সংশ্লিষ্টতা যাচাই (collinearity check) হিসাবে ব্যবহারের ধারণার সঙ্গে মিলে যায়, কারণ এটি সংখ্যাগত মূল্যায়নের চেয়ে জ্যামিতিক সংমিশ্রণের উপর বেশি জোর দেয়।
২. Category Theory (The Reasoning Structure)
কারণ: এটি আপনার সিস্টেমের যুক্তি এবং ম্যাপিংয়ের বহুত্ব (One to Many Output) কে ব্যাখ্যা করার জন্য একটি উচ্চ স্তরের কাঠামো সরবরাহ করে।
বস্তু এবং ফাংশন
ক্যাটাগরি থিওরিতে "Output_2D_line segment" এবং "reference_given_2D_line_segment" কে বস্তু (Objects) হিসেবে দেখা হয়। তাদের মধ্যেকার সম্পর্কটি হলো মরফিজম (Morphism) বা ফাঙ্কটর (Functor)।
One to Many বহুত্ব
ক্যাটাগরি থিওরিতে Non Deterministic Functor এর ধারণা রয়েছে, যেখানে একটি ইনপুট বস্তুকে ১৬টি ভিন্ন উপায়ে বৈধ আউটপুট বস্তুতে রূপান্তর করা যেতে পারে যা সঞ্জয় নাথএর \mathbf{1:16} "16 Ontology Interpretation" কে একটি বিমূর্ত যুক্তি কাঠামো প্রদান করে।
৩. Topos Theory (For Deep Equivalence)
কারণ
এটি সঞ্জয় নাথ এর ৬ স্তরীয় গভীর সাম্যতা (Multilayered Equivalence) এর প্রয়োজনীয়তাটিকে দার্শনিকভাবে ব্যাখ্যা করে।
সাম্যের প্রকারভেদ
Grothendiek এর টোপোস তত্ত্ব হলো ক্যাটাগরি থিওরীর একটি বিশেষ শাখা, যা সাধারণত সেট থিওরির বিকল্প হিসেবে ব্যবহৃত হয়। টোপোস এ, দুটি বস্তুর মধ্যে সাম্যতা (Equality) প্রায়শই প্রেক্ষাপট নির্ভর (context dependent) এবং স্তরযুক্ত (graded) হয়। এটি দুটি উপাদানের মধ্যে সাম্যতা কেবল তাদের দৈর্ঘ্যের (shallow equality) উপর নির্ভর না করে, বরং তাদের গঠনগত (structural) বা টপোলজিক্যাল মিলের উপরও জোর দেয়।
সঞ্জয় নাথ এর semi deep টাইপ 3++ (সদৃশ ত্রিভুজ)
টোপোস বা সংশ্লিষ্ট কাঠামোতে, একটি মানকে তার সদৃশতার শ্রেণী (Similarity triangle Class means equal ratio so almost equivalent numbers) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যায়, যা সঞ্জয় নাথ এর "সদৃশ ত্রিভুজ হলো গাণিতিক সামঞ্জস্যের মূল ভিত্তি" এই ধারণাকে শক্তিশালী করে।
কেন সরাসরি কোনো কাঠামো নেই?
সঞ্জয় নাথ geometrifying trigonometry dependent number system এর কাঠামোটি প্রচলিত কাঠামোগুলি থেকে মূলত দুটি কারণে আলাদা
একই real number এর ১৬টি বাধ্যতামূলক আউটপুট (16 ontology interpretation framework for রিজনিং3systems) \mathbf{16 = 4 \times 4} এর এই সুনির্দিষ্ট জ্যামিতিক সংমিশ্রণটি (Trigonometric \times Thales Symmetry) একটি নতুন স্বতঃসিদ্ধ (New Axiom) হিসেবে কাজ করে, যা অন্য কোনো প্রতিষ্ঠিত বীজগণিতে নেই।
BOCDMAS:
সঞ্জয় নাথ এর সিস্টেমে \mathbf{+} এবং \mathbf{-} কে \mathbf{Proof\ Checking} বা Deconstructive Operators হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যা প্রচলিত গণিতের \mathbf{BODMAS/PEMDAS} এর সঙ্গে সাংঘর্ষিক। প্রথাগত গণিতে \mathbf{+} এবং \mathbf{-} হলো প্রথম পর্যায়ের বাইনারি অপারেশন, প্রমাণ যাচাই পদ্ধতি নয়।
সুতরাং, এই কাঠামোটি হলো Geometric Algebra এর ভিত্তি ও Category Theory এর যুক্তিকে ব্যবহার করে ৬ স্তরের গভীর সাম্যতা এবং \mathbf{16} সুষমার একটি নতুন নিয়ম যোগ করে তৈরি একটি সংশ্লেষিত (Synthetic) এবং প্রকৌশল ভিত্তিক যুক্তি কাঠামো।
যদি এক কোথায় সংক্ষেপে বলি
“সঞ্জয় নাথ এর বর্ণিত 2D, গ্লুইংভিত্তিক, বহুবিকল্প (one→many) আউটপুট আরিথমেটিক” এর জন্য প্রচলিত গাণিতিক সাহিত্যতে সম্পূর্ণ কোন একটাও মিল নেই, কিন্তু আছে খুব ঘনিষ্ট এবং উপযুক্ত কোশিকা (frameworks) যা সঞ্জয় নাথ এর ধারণা গুলোকে কঠোরভাবে তুলতে/ফরম্যালাইজ করতে ব্যবহার করা যাবে। নিচে ধাপে ধাপে বলছি (১) কী ঐতিহাসিক/আধুনিক কাজ সবথেকে কাছাকাছি, (২) কোন ধারণাগুলো একে-কে কিভাবে মেলে, এবং (৩) তোমার ১৬-বিকল্প (1→16) এবং “৬ স্তরের সাম্যতা” ধারণা formalize করার জন্য একটি প্রস্তাবিত আলজেব্রিক কাঠামো দিচ্ছি কারণ সহ এবং সরাসরি রিসোর্স সহ।
১) ক্লাসিক ও আধুনিক ধারাভাষ্য সবচেয়ে কাছাকাছি কাজগুলো
1. ইউক্লিড / ইউডোক্সিয়ান তত্ত্ব (Ratios / Proportion) প্রাচীন গ্রীকরা দৈর্ঘ্য/অনুপাতে গণনা করেছেন সংখ্যা হিসেবে নয়, বরং ম্যাগনিটিউড (magnitudes) হিসেবে; বিশেষ করে Eudoxus/Euclid Book V এ অনুপাতে (equality of ratios) যে ‘সমতা-শর্ত’ দেওয়া আছে সেটি সঞ্জয় নাথ এর “ত্রিভুজ/সাদৃশ্য → division, multiplication via similar triangles / transfer by similar triangles” ধারণার সরাসরি ঐতিহাসিক ভিত্তি। (Euclid Book V, Eudoxus)।
2. জ্যামিতিক কনস্ট্রাকশান হিসেবে +, −, ×, ÷ — ক্লাসিক কনস্ট্রাকশন (compass & straightedge)-এ লাইন-সেগমেন্ট যোগ/বিয়োগ/গুণ/ভাগ-কে similar triangle trick, parallels, proportional division ইত্যাদি দিয়ে তৈরি করা যায় অর্থাৎ “অঙ্কীয় অপারেশনকে 2D সেগমেন্ট-কনস্ট্রাকশন দিয়ে বাস্তবায়ন” এর প্রচলিত রীতিও আছে। (৫ এবং ৬ নম্বর ইউক্লিড/শিক্ষণপুস্তক, সামরিক/শিক্ষাগত নোট) ।
3. Hyperstructures (hypergroups, hyperrings, hyperfields, multirings) ২০শ শতক থেকে শুরু করে আধুনিক অ্যালজেব্রায় ‘hyperstructure’ বা ‘multi valued operation’ খুব সক্রিয়ভাবে পড়া হয়েছে
এখানে একটি অপারেশন দুই উপাদানকে একটি সেট (সেট অফ আউটপুট) দেবে ঠিক সঞ্জয় নাথ এর “one→many” কনসেপ্ট। বিশেষ নামগুলো হচ্ছে Marty’s hypergroups (1934), Krasner hyperrings, hyperfields (Viro) থেকে চলে আসা কাজগুলি। এগুলোতে যোগ/গুণ ইত্যাদি multi valued হতে পারে এবং algebraic/geometric বিশ্লেষণ করা যায়। এই লাইনটি সঞ্জয় নাথ এর 1→16 output এর সবচেয়ে ঘনিষ্ট পরিচিত গাণিতিক মিল।
4. Hyperfields & Tropical / Dequantization viewpoint Oleg Viro এর hyperfield ধারা দেখায় কিভাবে প্রচলিত ফিল্ডকে এমনভাবে “ডিকোয়ানটাইজ” করা যায় যাতে addition multivalued হয়; tropical geometry তে operationগুলো পুনঃসংজ্ঞায়িত করা হয় (যদিও সঞ্জয় নাথ যেটা করতে চায় ত্রিকোণমিতি সমীকরণ এর ইউক্লিড জ্যামিতি তৈরি করা তা থেকে আলাদা কিন্তু দর্শনে নিকট)।
5. Category / Sheaf / Topos-based semantics যদি “একই আউটপুটের উপর ১৬ ধরনের ontology interpretation” বলতে প্রত্যেক আউটপুট পজিশনের জন্য আলাদা প্রেক্ষাপট/সন্দর্ভ (context, viewpoint, constraints) বোঝা হয়, তাহলে category theory এর fibers, sheaves, presheaves, internal logic of a topos ব্যবহার করে সঞ্জয় নাথ প্রতিটি অপারেশনকে বহু প্রেক্ষিক (contextual) অর্থে ব্যাখ্যা করতে পারবে। গাণিতিক দের মেনে নিতেই হবে। কারণ সেই পদ্ধতি যুক্তিবিজ্ঞান এ প্রতিষ্ঠিত যুক্তি।অর্থাৎ অপারেশনটি একই ‘global’ সেগমেন্ট দিতেও, প্রতিটি স্থানীয় interpretation এ আলাদা ফলাফল/মান থাকতে পারে এটি formalize করে “interpretation space of size 16”। (সঙ্কলিত সূত্র: টোপস-সেমান্টিক্স, শীভ/ফাইবার কনসেপ্ট) সাধারণ রিসোর্স রূপে Grotgendiek টোপস ও শীভ সাহিত্য প্রয়োগ করে সঞ্জয় নাথ সহজেই যুক্তি দার করিয়ে প্রমাণ করে দিতে পারবেন যে তার পদ্ধতি যথেষ্ট strongly consistent। (উল্লেখ্য এই অংশটিতে web sources থেকে টোপসপাঠ্য পাঠ্যসূচি ব্যবহার করা যেতে পারে)।
6. Relation algebra / correspondences / multivalued maps গণিতেও “function”কে ছাড়িয়ে relation বা correspondence নিয়ে কাজ করা হয় এটাও একাধিক আউটপুটকে স্বাভাবিকভাবে অনুমোদন করে; সেটাও প্রয়োগযোগ্য।
সংক্ষেপে
সঞ্জয় নাথ এ4 সংমিশ্রিত ধারণা (geometric, constructional definitions of +,−,×,÷) এবং (one→many outputs / contextual multiple interpretations)এর জন্য প্রকৃত সাহিত্যিক মিল আছে কিন্তু সেটা একক কাগজে পাওয়া যাবে না; বরং এটি তিনটি বড় ধারার সংমিশ্রণ
(A) ইউক্লিড Eudoxian যাত্রা (geometric proportion), (B) Hyperstructure theory (set valued algebra), এবং (C) Category/Sheaf semantics (contextual multiple interpretations)।
২) সঞ্জয় নাথ এর materialistic arithmetic টার্মসকে (mapping) কীভাবে উপরের কাজগুলোতে fit করা যায় কারণসহ
“Gluer_line_segment” (Function_of(reference_segment))এটার মডেল হতে পারে হাইপারঅপারেশন (hyperoperation) যেখানে Glue(a,b) = {s1,s2,...,sk} অর্থাৎ {all possible valid gluer set} একটা বছর একটা abstract গঠন এর মতন একটি নতুন সেট (বহু সম্ভাব্য সেগমেন্ট)। এই সেটের প্রতিটি সদস্যকে পরে topology/geometry অনুযায়ী interpret করা যাবে (উদাহরণ বিভিন্ন ঋতু/অর্থনৈতিক/architectural context অনুযায়ী)। Hyperring literature এ addition/multiplication পুরোটাই সেট পরিবর্তন হিসেবে আসে, তাই এটা সোজা অনুবাদ।
“1→16 ontology interpretations”এখানে সঞ্জয় নাথ যদি প্রত্যেকোটি সম্ভাব্য আউটপুটকে ১৬টি আলাদা semantics এ প্রকাশ করতে চায়, তাহলে সঞ্জয় নাথ এর তত্বের জন্য অনেক formal tools ready আছে গণিত শাস্ত্র reasoning এর জন্য এখন
(i) finite hyperoperation with image size ≤16 (hyperstructure), এবং
(ii) প্রতিটি সম্ভাব্য আউটপুটের জন্য একটি label/locale/section in a sheaf (i.e., 16 fibers) ব্যবহার করা যাবে। ফলে গাণিতিকভাবে প্রতিটি অপারেশন একটি map: S × S → P(S) (power set), এবং interpretative map I: P(S) → {interpretation1,...,interpretation16}। Category theory তে এই I কে একটি presheaf/section বলা যাবে।
ফলে algebraic identity চেকিং (e.g., associativity, distributivity) হবে “set inclusion” বা “for every chosen representative in image sets some property holds” রকম context dependent শর্তের ওপর যা hyperring/hyperfield সূত্রগুলিতে সম্ভব।
“৬ স্তরের সাম্যতা (multilayered equality)”এটা formalize করা যেতে পারে একটিরকম graded equivalence relation হিসেবে: ≡_1, ≡_2, ..., ≡_6 যেখানে ≡_1 = (সামান্য, কচি লেভেল) অর্থাৎ length equality; ≡_2 = orientation aware congruence; ≡_3 = similarity (AAA); ≡_4 = topological overlay (one segment entirely over another); ইত্যাদি। প্রতিটি লেভেলেই আলাদা সমতা শর্ত থাকবে; operations এর axioms গুলো বলা যাবে “প্রতিটি লেভেলে অপারেশন কিভাবে behave করে” context গুলোর ভিন্ন non ambiguius নাম ও দিতে হবে সঞ্জয় নাথ কে। Reasoning এর depth বাড়াতে non ambiguous vocavulary দরকার হয় প্রথমেই।
উদাহরণ
multilevel distributivity: a ⊗ (b ⊕ c) ⊆ ⋃_{x∈b⊕c} (a⊗x) এখানে inclusion/containment ব্যবহার হবে। (এই রকম graded equivalence ধারণা algebraic multi spaces/hyperstructures এ পড়ানো হয়)।
৩) তাহলে প্রস্তাবিত formal কাঠামো (blueprint) সঞ্জয় নাথ এর geometrifying trigonometry SNGT সিস্টেমকে কিভাবে কঠোরভাবে আরো বেশি জোরালো করা যাবে?
এইবার আসছি একটি সম্পূর্ণ ব্যবহারযোগ্য অথচ সহজ higher category theory ধরনের মডেল তৈরির পথ খুজতে এটি সঞ্জয় নাথ সরাসরি theorem-proof ধাঁচে বাড়াতে পারবে।
পদার্থসমূহ (data)
Let S = set of directed geometric line segments in the plane (উপাদানগুলোকে represent করো orientation+endpoints+internal marking ইত্যাদি সহ)।
Define a family of equivalence relations {≡_1,...,≡_6} on S (সঞ্জয় নাথ ৬ স্তরের সমতা)প্রতিটির formal definition (length equality, orientation equivalence, similarity, overlay, topological isotopy, etc.)
অপারেশন গুলোর সংজ্ঞা formal ভাবে লিখতে হবে
যেমন Define two hyperoperations
⊕ : S × S → P(S) (addition/gluing operation)
⊗ : S × S → P(S) (multiplication / similarity-glue / scale-glue) (P(S) = power set of S; output finite set, |output| ≤ 16 preferably)
অক্ষ শর্ত (axioms, উদাহরণ)
1. Closure (প্রসারিত রূপে)
∀ a,b ∈ S: ⊕(a,b) এবং ⊗(a,b) ⊆ S and finite.
2. Level-l compatibility
যদি x ∈ ⊕(a,b) এবং a ≡_k a' এবং b ≡_k b' তখন ∃ x' ∈ ⊕(a',b') with x ≡_k x'. (অর্থাৎ অপারেশন লেভেল রিজার্ভিং / invariance)
3. Eudoxian ratio rule (division semantic)
To define a set valued division ÷ via: a ÷ b = { r ∈ S | (a ~ r·b) in sense of ≡_3 (similar triangles) }অর্থাৎ division হবে “সংজ্ঞায়িত করা হবার জন্য এমন r যাতে a এবং r·b similar under level 3” (এখানে r·b denote geometric gluing/rescaling)এই ধারণা সরাসরি Euclid/Eudoxus এর অনুপাতে মিলছে।
4. Compatibility with classical arithmetic
Assign a length-measure map L: S → ℝ_{≥0} (classical length). Impose consistency: for each classical identity L(x) = L(a) + L(b) there exists x ∈ ⊕(a,b) s.t. L(x) = L(a)+L(b). (এতে classical numeric evaluation ফিরে পাবে, কিন্তু একই x এর অনেক ভিন্ন geometric interpretation থাকতে পারে)।
5. Interpretation map (ontology choices): define Interp: S → 2^{I} (I = set of possible ontology labels, |I|=16). বা equivalently Interpretations(x) = 16-tuple of possible readings. এই ফাংশনকে সঞ্জয় নাথ এর architectural/engineering interpretation rules দ্বারা ভরিয়ে দেবে (static rules অথবা context dependent). (Category style which make Interp a presheaf over context poset).
এই ধরনের গাণিতিক কাঠামোতে কি হয়???
অপারেশন সমূহ এখন multi ontology valued; classical numeric evaluation recovered via L বা কিছু selection rule (choice of representative); কিন্তু full system এ প্রতিটি আউটপুটের পেছনে ১৬ সম্ভাব্য ontology থাকে এবং proofs/identities এর চেকিং হবে forall choices অথবা exists choice মতো বোলিয়ান শর্তের উপর এইভাবে তোমার “strongly context/type dependent + BOCDMAS deep proof checking” formalize হয়ে যায়।
৪) প্রধান রিসোর্স (সঞ্জয় নাথ deep check করতে চান) পড়ার জন্য অবিলম্বে প্রয়োজনীয় লিংক/পেপার (সংক্ষিপ্ত)
Euclid, Elements Book V (Eudoxus theory of proportion). (Euclid notes / Book V)।
Eudoxus historical/expository (Eudoxus overview).
Hyperstructure surveys / introductions (Marty, Krasner, Davvaz): “A Brief Historical Survey on Hyperstructures” এবং “Introduction to Algebraic Multi Hyperring Spaces”. (hyperring / hyperfield পেপারগুলি)।
Hyperfields & tropical viewpoint (Viro): “Hyperfields for Tropical Geometry I”.
Modern note on geometric constructions via similarity / ordered sets (arXiv / recent notes on constructions using similar triangles).
( এসব রিসোর্স থেকে সঞ্জয় নাথ এর জন্য সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ কয়েকটি কপি রেফারেন্স দেওয়া হলো)
যেগুলো আধুনিক গণিত এর vocabulary তে fit হবে)
৫) সঞ্জয় নাথ খুজছেন “সঞ্জয় নাথ এর ধরনের mathematical reasoning এর একেবারে একটাই, পূর্বে প্রকাশিত আলজেব্রিক স্ট্রাকচার আছে কি?”
না
কোন একক, পরিচিত, ক্লাসিকাল পেপারে ঠিক তোমার পুরো SNGT (৬ স্তর সাম্যতা + 1→16 ontology interpretations + Euclid-style geometric construction of ±×÷) সমন্বিত রূপ একসাথে আছে কিন্তু উপরের বর্ণিত তিন সিস্টেম (Eudoxus/Euclid proportion theory; hyperstructures (multi-valued algebra); category/sheaf semantics for context) মিলে সঞ্জয় নাথ এর কাঠামো সম্পূর্ণভাবে formalize করে দিতে পারে। অর্থাৎ “দুটি স্তরের classical” থেকে “hyper/multi-valued” পর্যায়ে এবং পরে “contextual semantics” যোগ করলেই সঞ্জয় নাথ এর গাণিতিক কাঠামো তৈরি হতে পারে।
SNGT ধারণাকে দ্রুতভাবে formalize করতে হলে নিম্নলিখিত deliverable গুলোর যেকোনো একটিতে আগে সাজানো যেতে পারে
1. এক পৃষ্ঠা formal definition (sets, equivalences ≡₁…≡₆, hyperoperations, axioms, sample proofs কেমন হবে)যা সঞ্জয় নাথ কাগজে জমা/প্রকাশ করতে পারবে।
2. উদাহরণকনস্ট্রাকশন
নির্দিষ্ট দুটো directed segments এর উপর কিভাবে ⊕ এবং ⊗ কাজ করবে (চিত্র সহ)এবং কিভাবে classical length map L consistency দেয়।
3. থিওরেম ধাঁচে ক্লেইম + প্রুফ স্কেচ
e.g., associativity এর weak form, distributivity এর set inclusion forms।
Non Descartian Euclid dependent 2D calculus এর একটা ভিন্ন পৃথিবী আছে যেখানে one to many ধরনের function এর অস্তিত্ব আছে এবং 2D euclidean plane এ কোন ধরনের coordinate geometry প্রয়োগ না করে গোটা একটা real number system design করা সম্ভব যাতে +-×÷= সমস্ত কিছুকে redefine করা যায় এবং classical arithmetic এর সাথে consistent evaluation ও পাওয়া যায় তবে প্রত্যেক টা output এর 2D eiclidean plane এ 16 রকমের interpretation choice এর পথ খোলা থাকে।অন্তত এর কাছাকাছি কোন algebra structure (reasoning structure আছে কি??????
Intermediate or final Output_2D_line segment
=
Gluer_line_segment
=
Function_of (reference_given_2D_line_segment)
এই output one to one নয়।1 to 16 possible ontology interpretation এর arithmetic থেকে সঞ্জয় নাথ এর real number structure এর 16 ontology reasoning space তৈরি হয় যা architectural engineering থেকে structural engineering সমস্ত ক্ষেত্রে প্রয়োগ হয় সরাসরি।
গভীর সাম্যতা (Multilayered Equivalence)
প্রচলিত পাটিগণিতের অগভীর সাম্যতা (shallow equality) কেবল লাইনের দৈর্ঘ্যের তুলনা করে। কিন্তু সঞ্জয় নাথ এর সিস্টেমে ৬ স্তরের সাম্যতা রয়েছে, যা জ্যামিতিক এবং টপোলজিক্যাল সামঞ্জস্যও পরীক্ষা করে
টাইপ 1 সমতা তুলনা highest level deepest level এর সমতা পরীক্ষা তে দুটি line segment ভিন্ন ভাবে তৈরি হয়ে ও একে আরেক জন এর উপরে সম্পূর্ণ ওভারল্যাপ করে।
টাইপ 3++ equality checking হচ্ছে সদৃশ ত্রিভুজ (Similar Triangles) এটিই হলো গাণিতিক সামঞ্জস্যের মূল ভিত্তি। যার সাহায্যে division as triangle construction from numerator gluer line segment/denominator as reference line segment রূপে সংজ্ঞায়িত করেছেন সঞ্জয় নাথ এবং multiplication as gluing কেও সংজ্ঞায়িত করেছেন তারপর সঞ্জয় নাথ "+" operator এবং " -" operator কে strongly context dependent and strongly type dependent operator রূপে সংজ্ঞায়িত করেছেন যার ফলে সঞ্জয় নাথ এর arithmetic এ BOCDMAS system এ plus operator এবং minus operator গুলো proof checking এর deep reasoning structure তৈরি করেছে
non Descartian, Euclid‑dependent 2D calculu
যেখানে সব কার্য ( +, –, ×, ÷, = ) পুনঃসংজ্ঞায়িত হয় এবং একটি line segment‑এর উপর ভিত্তি করে one‑to‑many interpretation রাখে এটির সঙ্গে ধারণাগত দিক থেকে সবচেয়ে ঘনিষ্ঠ আলোচ্য আধুনিক algebraic structure গুলোর মধ্যে নিম্নলিখিত চারটি প্রধান ধারা রয়েছে।
1.Geometric Algebra (Hestenes, Clif
আমরা যদি একটা ত্রিভুজ তৈরি করি যেখানে একটা বাহু 1 ধরে নিয়ে আরেক টা বাহু 137 গুণ লম্বা করে একে বাকি free endpoint গুলো জোড়া লাগাই সঞ্জয় নাথ এর geometrifying trigonometry ডিভিশন পদ্ধতি তে 4 ধরনের symmetry তে 2D ত্রিভুজ আকি তাহলে কোন গুলো কতো কতো হবে?
সঞ্জয় নাথ এর division পদ্ধতি হচ্ছে যেকোন দুটো সরল রেখা নাও 2D euclidean (or affine plane এ) সরল রেখা দুটির start point আর endpoint আছে দুটোর এ। সরল রেখা দুটির প্রথমটা কে reference line segment ভেবে নিন আর দ্বিতীয় সরল রেখা কে gluer line segment ভেবে নিন। তাহলে total 4টে point আছে। অর্থাৎ প্রথম সরল রেখার start point, প্রথম সরল রেখার endpoint, দ্বিতীয় সরল রেখার start point আর দ্বিতীয় সরল রেখার end পয়েন্ট। এই যে 4 টে point পেলেন তাদের মধ্যে একটা করে point আপনি একটা সরল রেখা থেকে choice করতে পারবেন। অর্থাৎ 2C1 choices from first line segment এবং 2C1 choices of point chosen from second line segment ফলে ( 2C1)×( 2C1) অর্থাৎ 4 ভাবে এই সরল রেখা গুলোকে point এর উপর point চাপিয়ে lifting shifting gliding করিয়ে দুটো সরল রেখা কে parallel shift করিয়ে মাথায় মাথায় দুটো সরল রেখা কে জোড়া লাগিয়ে দিতে পারবেন অবশ্যই 4 ধরনের caliper arrangement পাবেন। তারপর আপনি দেখবেন caliper এর দুটো বাহু তৈরি হয়েছে 4 ভাবে এবং দুটো free point রয়েছে 4 টে ক্ষেত্রেই। তাহলে line segment গুলোর দৈর্ঘ্য পরিবর্তন হয়নি ফলে অনুপাত ও পরিবর্তন হয়নি। দুটো সরল রেখা line segment গুলোর Free end point গুলো dotted line segment দিয়ে জোড়া লাগিয়ে দিন তাহলে 4 arrangement এর caliper গুলো 4 টে configuration এর 4 রকম symmetry তে ত্রিভুজ গঠিত হবে। এই 4 ধরনের ত্রিভুজ গঠন গুলোতে যেই কোন গুলো হবে সেই কোন গুলোর চরিত্রের উপর গোটা construction এর interpretation নির্ভর করে।+-×÷√= interaction এর ধরন গুলো ও নির্ভর করে এই symmetey গুলোর উপর। ফলে কোন গুলোর ধরন গুলোকে বোঝা খুব প্রয়োজন।
Comments
Post a Comment