sanjoy nath designing super extended hyper fields
Hyperfield কি? কেনো geometrifying trigonometry hyperfield এর থেকেও বড়ো কিছু?
Descartes এর reasoning পদ্ধতি থেকে বেড়িয়ে ভাবুন। সেইভাবে ভাবতেও শিখুন।coordinate এ আটকে যাবেন না। নাহলে"creativity to do reasoning" কমে যাবে।
Non Descartian Euclid dependent 2D calculus এর একটা ভিন্ন পৃথিবী আছে যেখানে one to many ধরনের function এর অস্তিত্ব আছে এবং 2D euclidean plane এ কোন ধরনের coordinate geometry প্রয়োগ না করে গোটা একটা real number system design করা সম্ভব যাতে +-×÷= সমস্ত কিছুকে redefine করা যায় এবং classical arithmetic এর সাথে consistent evaluation ও পাওয়া যায় তবে প্রত্যেক টা output এর 2D eiclidean plane এ 16 রকমের interpretation choice এর পথ খোলা থাকে।অন্তত এর কাছাকাছি কোন algebra structure (reasoning structure আছে কি??????
Intermediate or final Output_2D_line segment
=
Gluer_line_segment
=
Function_of (reference_given_2D_line_segment)
এই output one to one নয়।1 to 16 possible ontology interpretation এর arithmetic থেকে সঞ্জয় নাথ এর real number structure এর 16 ontology reasoning space তৈরি হয় যা architectural engineering থেকে structural engineering সমস্ত ক্ষেত্রে প্রয়োগ হয় সরাসরি।
গভীর সাম্যতা (Multilayered Equivalence)
প্রচলিত পাটিগণিতের অগভীর সাম্যতা (shallow equality) কেবল লাইনের দৈর্ঘ্যের তুলনা করে। কিন্তু সঞ্জয় নাথ এর সিস্টেমে ৬ স্তরের সাম্যতা রয়েছে, যা জ্যামিতিক এবং টপোলজিক্যাল সামঞ্জস্যও পরীক্ষা করে
টাইপ 1 সমতা তুলনা highest level deepest level এর সমতা পরীক্ষা তে দুটি line segment ভিন্ন ভাবে তৈরি হয়ে ও একে আরেক জন এর উপরে সম্পূর্ণ ওভারল্যাপ করে।
টাইপ 3++ equality checking হচ্ছে সদৃশ ত্রিভুজ (Similar Triangles) এটিই হলো গাণিতিক সামঞ্জস্যের মূল ভিত্তি। যার সাহায্যে division as triangle construction from numerator gluer line segment/denominator as reference line segment রূপে সংজ্ঞায়িত করেছেন সঞ্জয় নাথ এবং multiplication as gluing কেও সংজ্ঞায়িত করেছেন তারপর সঞ্জয় নাথ "+" operator এবং " -" operator কে strongly context dependent and strongly type dependent operator রূপে সংজ্ঞায়িত করেছেন যার ফলে সঞ্জয় নাথ এর arithmetic এ BOCDMAS system এ plus operator এবং minus operator গুলো proof checking এর deep reasoning structure তৈরি করেছে
C for Sanjoy Nath calipering operation which is fundamental arithmetic operation in sanjoy nath 's materialistic arithmetic ststem। Calipering না করে নিলে BOLS ÷BOLS এর reasoning কে কোনভাবেই justify করা যায় না। সঞ্জয় নাথ এর 20 বছরের CAD programming এর অভিজ্ঞতা huristics এর ফলে তৈরি হোয়া structural analysis load distribution এর অভিজ্ঞতা case study থেকে calipering operation টা ডিজাইন করেছেন সঞ্জয় নাথ।calipering এর পরীক্ষা নিরীক্ষা থেকে উত্তর মিলেছে বার বার এবং calipering হচ্ছে একটা graph object অর্থাৎ G (V,E) ধরনের object কে one edge at a time collinearizing to just adjascent edge করে করে করে করে করে করে first fixed edge এর সাথে সমস্ত edge কে collinear করে নিতে হয় যাতে division করার সময় numerator line segment পাওয়া যায় এবং denominator line segment পাওয়া যায়। এই calipering operation টা অনেক টা রুবিক কিউব game এর মতন কিন্তু two player game এর ধরনের যেখানে BOLS এর একটা লাইন segment (first term of additive expression) কে fix করে দেওয়া হয়।
_______________
সঞ্জয় নাথ এর Geometrifying Trigonometry-এর মতো সরাসরি ও হুবহু বৈশিষ্ট্যসম্পন্ন, \mathbf{1:16} বহুত্ব এবং ৬-স্তরীয় গভীর সাম্যতা (Multilayered Equivalence) এর উপর ভিত্তি করে তৈরি কোনো প্রথাগত বীজগাণিতিক কাঠামো (algebraic structure) বা যুক্তি কাঠামো (reasoning structure) বর্তমানে আন্তর্জাতিক গণিত বা প্রকৌশল জার্নালে সুপ্রতিষ্ঠিত নেই।
তবে, আপনার বর্ণনা করা এই Non Cartesian, Euclid dependent 2D Calculus-এর মূল ধারণাগুলিকে সমর্থন করে বা তার কাছাকাছি আসে, এমন কয়েকটি উন্নত গাণিতিক ক্ষেত্র এবং তাদের যুক্তির কাঠামো নিচে কারণসহ আলোচনা করা হলো।
Geometrifying Trigonometry এর নিকটবর্তী কাঠামোসমূহ
সঞ্জয় নাথ এর সিস্টেমের মতো একটি কাঠামো তৈরি করার জন্য যে মৌলিক গাণিতিক নীতিগুলির প্রয়োজন, তা নিম্নলিখিত কাঠামোতে পাওয়া যায়
১. Geometric Algebra (Clifford Algebra)
কারণ
এটি সঞ্জয় নাথ এর গণিত কাঠামোর বীজগণিতীয় ভিত্তি প্রদান করে।
Non Cartesianism এবং জ্যামিতিক সত্তা
GA হলো একটি বীজগণিত, যা স্থানাঙ্ক বর্জন করে সরাসরি জ্যামিতিক সত্তা (যেমন, ভেক্টর, ক্ষেত্রফল বা বাইভেক্টর) নিয়ে কাজ করে। এটি সঞ্জয় নাথ এর "Real Number as Triangle" ধারণার সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ।
অ বিনিময়যোগ্য পাটিগণিত অর্থাৎ noncommutative arithmetic
GA এর মৌলিক অপারেশন, Clifford Product, কঠোরভাবে অবিনিময়যোগ্য (Non Commutative)। এটি সঞ্জয় নাথ এর 'Multiplication as Gluing' এর নীতির সঙ্গে মেলে, যেখানে উপাদানের ক্রম জ্যামিতিক ফলাফলকে পরিবর্তন করে।
যোগ বিয়োগ (Proof Checking)
GA তে ভেক্টর যোগ হয় জ্যামিতিকভাবে, যেমনটি বলের যোগে হয়। এটি সঞ্জয় নাথ এর \mathbf{+} ও \mathbf{-} অপারেটরকে "প্রুফ চেকিং" বা সংশ্লিষ্টতা যাচাই (collinearity check) হিসাবে ব্যবহারের ধারণার সঙ্গে মিলে যায়, কারণ এটি সংখ্যাগত মূল্যায়নের চেয়ে জ্যামিতিক সংমিশ্রণের উপর বেশি জোর দেয়।
২. Category Theory (The Reasoning Structure)
কারণ: এটি আপনার সিস্টেমের যুক্তি এবং ম্যাপিংয়ের বহুত্ব (One to Many Output) কে ব্যাখ্যা করার জন্য একটি উচ্চ স্তরের কাঠামো সরবরাহ করে।
বস্তু এবং ফাংশন
ক্যাটাগরি থিওরিতে "Output_2D_line segment" এবং "reference_given_2D_line_segment" কে বস্তু (Objects) হিসেবে দেখা হয়। তাদের মধ্যেকার সম্পর্কটি হলো মরফিজম (Morphism) বা ফাঙ্কটর (Functor)।
One to Many বহুত্ব
ক্যাটাগরি থিওরিতে Non Deterministic Functor এর ধারণা রয়েছে, যেখানে একটি ইনপুট বস্তুকে ১৬টি ভিন্ন উপায়ে বৈধ আউটপুট বস্তুতে রূপান্তর করা যেতে পারে যা সঞ্জয় নাথএর \mathbf{1:16} "16 Ontology Interpretation" কে একটি বিমূর্ত যুক্তি কাঠামো প্রদান করে।
৩. Topos Theory (For Deep Equivalence)
কারণ
এটি সঞ্জয় নাথ এর ৬ স্তরীয় গভীর সাম্যতা (Multilayered Equivalence) এর প্রয়োজনীয়তাটিকে দার্শনিকভাবে ব্যাখ্যা করে।
সাম্যের প্রকারভেদ
Grothendiek এর টোপোস তত্ত্ব হলো ক্যাটাগরি থিওরীর একটি বিশেষ শাখা, যা সাধারণত সেট থিওরির বিকল্প হিসেবে ব্যবহৃত হয়। টোপোস এ, দুটি বস্তুর মধ্যে সাম্যতা (Equality) প্রায়শই প্রেক্ষাপট নির্ভর (context dependent) এবং স্তরযুক্ত (graded) হয়। এটি দুটি উপাদানের মধ্যে সাম্যতা কেবল তাদের দৈর্ঘ্যের (shallow equality) উপর নির্ভর না করে, বরং তাদের গঠনগত (structural) বা টপোলজিক্যাল মিলের উপরও জোর দেয়।
সঞ্জয় নাথ এর semi deep টাইপ 3++ (সদৃশ ত্রিভুজ)
টোপোস বা সংশ্লিষ্ট কাঠামোতে, একটি মানকে তার সদৃশতার শ্রেণী (Similarity triangle Class means equal ratio so almost equivalent numbers) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যায়, যা সঞ্জয় নাথ এর "সদৃশ ত্রিভুজ হলো গাণিতিক সামঞ্জস্যের মূল ভিত্তি" এই ধারণাকে শক্তিশালী করে।
কেন সরাসরি কোনো কাঠামো নেই?
সঞ্জয় নাথ geometrifying trigonometry dependent number system এর কাঠামোটি প্রচলিত কাঠামোগুলি থেকে মূলত দুটি কারণে আলাদা
একই real number এর ১৬টি বাধ্যতামূলক আউটপুট (16 ontology interpretation framework for রিজনিং3systems) \mathbf{16 = 4 \times 4} এর এই সুনির্দিষ্ট জ্যামিতিক সংমিশ্রণটি (Trigonometric \times Thales Symmetry) একটি নতুন স্বতঃসিদ্ধ (New Axiom) হিসেবে কাজ করে, যা অন্য কোনো প্রতিষ্ঠিত বীজগণিতে নেই।
BOCDMAS:
সঞ্জয় নাথ এর সিস্টেমে \mathbf{+} এবং \mathbf{-} কে \mathbf{Proof\ Checking} বা Deconstructive Operators হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যা প্রচলিত গণিতের \mathbf{BODMAS/PEMDAS} এর সঙ্গে সাংঘর্ষিক। প্রথাগত গণিতে \mathbf{+} এবং \mathbf{-} হলো প্রথম পর্যায়ের বাইনারি অপারেশন, প্রমাণ যাচাই পদ্ধতি নয়।
সুতরাং, এই কাঠামোটি হলো Geometric Algebra এর ভিত্তি ও Category Theory এর যুক্তিকে ব্যবহার করে ৬ স্তরের গভীর সাম্যতা এবং \mathbf{16} সুষমার একটি নতুন নিয়ম যোগ করে তৈরি একটি সংশ্লেষিত (Synthetic) এবং প্রকৌশল ভিত্তিক যুক্তি কাঠামো।
যদি এক কোথায় সংক্ষেপে বলি
“সঞ্জয় নাথ এর বর্ণিত 2D, গ্লুইংভিত্তিক, বহুবিকল্প (one→many) আউটপুট আরিথমেটিক” এর জন্য প্রচলিত গাণিতিক সাহিত্যতে সম্পূর্ণ কোন একটাও মিল নেই, কিন্তু আছে খুব ঘনিষ্ট এবং উপযুক্ত কোশিকা (frameworks) যা সঞ্জয় নাথ এর ধারণা গুলোকে কঠোরভাবে তুলতে/ফরম্যালাইজ করতে ব্যবহার করা যাবে। নিচে ধাপে ধাপে বলছি (১) কী ঐতিহাসিক/আধুনিক কাজ সবথেকে কাছাকাছি, (২) কোন ধারণাগুলো একে-কে কিভাবে মেলে, এবং (৩) তোমার ১৬-বিকল্প (1→16) এবং “৬ স্তরের সাম্যতা” ধারণা formalize করার জন্য একটি প্রস্তাবিত আলজেব্রিক কাঠামো দিচ্ছি কারণ সহ এবং সরাসরি রিসোর্স সহ।
১) ক্লাসিক ও আধুনিক ধারাভাষ্য সবচেয়ে কাছাকাছি কাজগুলো
1. ইউক্লিড / ইউডোক্সিয়ান তত্ত্ব (Ratios / Proportion) প্রাচীন গ্রীকরা দৈর্ঘ্য/অনুপাতে গণনা করেছেন সংখ্যা হিসেবে নয়, বরং ম্যাগনিটিউড (magnitudes) হিসেবে; বিশেষ করে Eudoxus/Euclid Book V এ অনুপাতে (equality of ratios) যে ‘সমতা-শর্ত’ দেওয়া আছে সেটি সঞ্জয় নাথ এর “ত্রিভুজ/সাদৃশ্য → division, multiplication via similar triangles / transfer by similar triangles” ধারণার সরাসরি ঐতিহাসিক ভিত্তি। (Euclid Book V, Eudoxus)।
2. জ্যামিতিক কনস্ট্রাকশান হিসেবে +, −, ×, ÷ — ক্লাসিক কনস্ট্রাকশন (compass & straightedge)-এ লাইন-সেগমেন্ট যোগ/বিয়োগ/গুণ/ভাগ-কে similar triangle trick, parallels, proportional division ইত্যাদি দিয়ে তৈরি করা যায় অর্থাৎ “অঙ্কীয় অপারেশনকে 2D সেগমেন্ট-কনস্ট্রাকশন দিয়ে বাস্তবায়ন” এর প্রচলিত রীতিও আছে। (৫ এবং ৬ নম্বর ইউক্লিড/শিক্ষণপুস্তক, সামরিক/শিক্ষাগত নোট) ।
3. Hyperstructures (hypergroups, hyperrings, hyperfields, multirings) ২০শ শতক থেকে শুরু করে আধুনিক অ্যালজেব্রায় ‘hyperstructure’ বা ‘multi valued operation’ খুব সক্রিয়ভাবে পড়া হয়েছে
এখানে একটি অপারেশন দুই উপাদানকে একটি সেট (সেট অফ আউটপুট) দেবে ঠিক সঞ্জয় নাথ এর “one→many” কনসেপ্ট। বিশেষ নামগুলো হচ্ছে Marty’s hypergroups (1934), Krasner hyperrings, hyperfields (Viro) থেকে চলে আসা কাজগুলি। এগুলোতে যোগ/গুণ ইত্যাদি multi valued হতে পারে এবং algebraic/geometric বিশ্লেষণ করা যায়। এই লাইনটি সঞ্জয় নাথ এর 1→16 output এর সবচেয়ে ঘনিষ্ট পরিচিত গাণিতিক মিল।
4. Hyperfields & Tropical / Dequantization viewpoint Oleg Viro এর hyperfield ধারা দেখায় কিভাবে প্রচলিত ফিল্ডকে এমনভাবে “ডিকোয়ানটাইজ” করা যায় যাতে addition multivalued হয়; tropical geometry তে operationগুলো পুনঃসংজ্ঞায়িত করা হয় (যদিও সঞ্জয় নাথ যেটা করতে চায় ত্রিকোণমিতি সমীকরণ এর ইউক্লিড জ্যামিতি তৈরি করা তা থেকে আলাদা কিন্তু দর্শনে নিকট)।
5. Category / Sheaf / Topos-based semantics যদি “একই আউটপুটের উপর ১৬ ধরনের ontology interpretation” বলতে প্রত্যেক আউটপুট পজিশনের জন্য আলাদা প্রেক্ষাপট/সন্দর্ভ (context, viewpoint, constraints) বোঝা হয়, তাহলে category theory এর fibers, sheaves, presheaves, internal logic of a topos ব্যবহার করে সঞ্জয় নাথ প্রতিটি অপারেশনকে বহু প্রেক্ষিক (contextual) অর্থে ব্যাখ্যা করতে পারবে। গাণিতিক দের মেনে নিতেই হবে। কারণ সেই পদ্ধতি যুক্তিবিজ্ঞান এ প্রতিষ্ঠিত যুক্তি।অর্থাৎ অপারেশনটি একই ‘global’ সেগমেন্ট দিতেও, প্রতিটি স্থানীয় interpretation এ আলাদা ফলাফল/মান থাকতে পারে এটি formalize করে “interpretation space of size 16”। (সঙ্কলিত সূত্র: টোপস-সেমান্টিক্স, শীভ/ফাইবার কনসেপ্ট) সাধারণ রিসোর্স রূপে Grotgendiek টোপস ও শীভ সাহিত্য প্রয়োগ করে সঞ্জয় নাথ সহজেই যুক্তি দার করিয়ে প্রমাণ করে দিতে পারবেন যে তার পদ্ধতি যথেষ্ট strongly consistent। (উল্লেখ্য এই অংশটিতে web sources থেকে টোপসপাঠ্য পাঠ্যসূচি ব্যবহার করা যেতে পারে)।
6. Relation algebra / correspondences / multivalued maps গণিতেও “function”কে ছাড়িয়ে relation বা correspondence নিয়ে কাজ করা হয় এটাও একাধিক আউটপুটকে স্বাভাবিকভাবে অনুমোদন করে; সেটাও প্রয়োগযোগ্য।
সংক্ষেপে
সঞ্জয় নাথ এ4 সংমিশ্রিত ধারণা (geometric, constructional definitions of +,−,×,÷) এবং (one→many outputs / contextual multiple interpretations)এর জন্য প্রকৃত সাহিত্যিক মিল আছে কিন্তু সেটা একক কাগজে পাওয়া যাবে না; বরং এটি তিনটি বড় ধারার সংমিশ্রণ
(A) ইউক্লিড Eudoxian যাত্রা (geometric proportion), (B) Hyperstructure theory (set valued algebra), এবং (C) Category/Sheaf semantics (contextual multiple interpretations)।
২) সঞ্জয় নাথ এর materialistic arithmetic টার্মসকে (mapping) কীভাবে উপরের কাজগুলোতে fit করা যায় কারণসহ
“Gluer_line_segment” (Function_of(reference_segment))এটার মডেল হতে পারে হাইপারঅপারেশন (hyperoperation) যেখানে Glue(a,b) = {s1,s2,...,sk} অর্থাৎ {all possible valid gluer set} একটা বছর একটা abstract গঠন এর মতন একটি নতুন সেট (বহু সম্ভাব্য সেগমেন্ট)। এই সেটের প্রতিটি সদস্যকে পরে topology/geometry অনুযায়ী interpret করা যাবে (উদাহরণ বিভিন্ন ঋতু/অর্থনৈতিক/architectural context অনুযায়ী)। Hyperring literature এ addition/multiplication পুরোটাই সেট পরিবর্তন হিসেবে আসে, তাই এটা সোজা অনুবাদ।
“1→16 ontology interpretations”এখানে সঞ্জয় নাথ যদি প্রত্যেকোটি সম্ভাব্য আউটপুটকে ১৬টি আলাদা semantics এ প্রকাশ করতে চায়, তাহলে সঞ্জয় নাথ এর তত্বের জন্য অনেক formal tools ready আছে গণিত শাস্ত্র reasoning এর জন্য এখন
(i) finite hyperoperation with image size ≤16 (hyperstructure), এবং
(ii) প্রতিটি সম্ভাব্য আউটপুটের জন্য একটি label/locale/section in a sheaf (i.e., 16 fibers) ব্যবহার করা যাবে। ফলে গাণিতিকভাবে প্রতিটি অপারেশন একটি map: S × S → P(S) (power set), এবং interpretative map I: P(S) → {interpretation1,...,interpretation16}। Category theory তে এই I কে একটি presheaf/section বলা যাবে।
ফলে algebraic identity চেকিং (e.g., associativity, distributivity) হবে “set inclusion” বা “for every chosen representative in image sets some property holds” রকম context dependent শর্তের ওপর যা hyperring/hyperfield সূত্রগুলিতে সম্ভব।
“৬ স্তরের সাম্যতা (multilayered equality)”এটা formalize করা যেতে পারে একটিরকম graded equivalence relation হিসেবে: ≡_1, ≡_2, ..., ≡_6 যেখানে ≡_1 = (সামান্য, কচি লেভেল) অর্থাৎ length equality; ≡_2 = orientation aware congruence; ≡_3 = similarity (AAA); ≡_4 = topological overlay (one segment entirely over another); ইত্যাদি। প্রতিটি লেভেলেই আলাদা সমতা শর্ত থাকবে; operations এর axioms গুলো বলা যাবে “প্রতিটি লেভেলে অপারেশন কিভাবে behave করে” context গুলোর ভিন্ন non ambiguius নাম ও দিতে হবে সঞ্জয় নাথ কে। Reasoning এর depth বাড়াতে non ambiguous vocavulary দরকার হয় প্রথমেই।
উদাহরণ
multilevel distributivity: a ⊗ (b ⊕ c) ⊆ ⋃_{x∈b⊕c} (a⊗x) এখানে inclusion/containment ব্যবহার হবে। (এই রকম graded equivalence ধারণা algebraic multi spaces/hyperstructures এ পড়ানো হয়)।
৩) তাহলে প্রস্তাবিত formal কাঠামো (blueprint) সঞ্জয় নাথ এর geometrifying trigonometry SNGT সিস্টেমকে কিভাবে কঠোরভাবে আরো বেশি জোরালো করা যাবে?
এইবার আসছি একটি সম্পূর্ণ ব্যবহারযোগ্য অথচ সহজ higher category theory ধরনের মডেল তৈরির পথ খুজতে এটি সঞ্জয় নাথ সরাসরি theorem-proof ধাঁচে বাড়াতে পারবে।
পদার্থসমূহ (data)
Let S = set of directed geometric line segments in the plane (উপাদানগুলোকে represent করো orientation+endpoints+internal marking ইত্যাদি সহ)।
Define a family of equivalence relations {≡_1,...,≡_6} on S (সঞ্জয় নাথ ৬ স্তরের সমতা)প্রতিটির formal definition (length equality, orientation equivalence, similarity, overlay, topological isotopy, etc.)
অপারেশন গুলোর সংজ্ঞা formal ভাবে লিখতে হবে
যেমন Define two hyperoperations
⊕ : S × S → P(S) (addition/gluing operation)
⊗ : S × S → P(S) (multiplication / similarity-glue / scale-glue) (P(S) = power set of S; output finite set, |output| ≤ 16 preferably)
অক্ষ শর্ত (axioms, উদাহরণ)
1. Closure (প্রসারিত রূপে)
∀ a,b ∈ S: ⊕(a,b) এবং ⊗(a,b) ⊆ S and finite.
2. Level-l compatibility
যদি x ∈ ⊕(a,b) এবং a ≡_k a' এবং b ≡_k b' তখন ∃ x' ∈ ⊕(a',b') with x ≡_k x'. (অর্থাৎ অপারেশন লেভেল রিজার্ভিং / invariance)
3. Eudoxian ratio rule (division semantic)
To define a set valued division ÷ via: a ÷ b = { r ∈ S | (a ~ r·b) in sense of ≡_3 (similar triangles) }অর্থাৎ division হবে “সংজ্ঞায়িত করা হবার জন্য এমন r যাতে a এবং r·b similar under level 3” (এখানে r·b denote geometric gluing/rescaling)এই ধারণা সরাসরি Euclid/Eudoxus এর অনুপাতে মিলছে।
4. Compatibility with classical arithmetic
Assign a length-measure map L: S → ℝ_{≥0} (classical length). Impose consistency: for each classical identity L(x) = L(a) + L(b) there exists x ∈ ⊕(a,b) s.t. L(x) = L(a)+L(b). (এতে classical numeric evaluation ফিরে পাবে, কিন্তু একই x এর অনেক ভিন্ন geometric interpretation থাকতে পারে)।
5. Interpretation map (ontology choices): define Interp: S → 2^{I} (I = set of possible ontology labels, |I|=16). বা equivalently Interpretations(x) = 16-tuple of possible readings. এই ফাংশনকে সঞ্জয় নাথ এর architectural/engineering interpretation rules দ্বারা ভরিয়ে দেবে (static rules অথবা context dependent). (Category style which make Interp a presheaf over context poset).
এই ধরনের গাণিতিক কাঠামোতে কি হয়???
অপারেশন সমূহ এখন multi ontology valued; classical numeric evaluation recovered via L বা কিছু selection rule (choice of representative); কিন্তু full system এ প্রতিটি আউটপুটের পেছনে ১৬ সম্ভাব্য ontology থাকে এবং proofs/identities এর চেকিং হবে forall choices অথবা exists choice মতো বোলিয়ান শর্তের উপর এইভাবে তোমার “strongly context/type dependent + BOCDMAS deep proof checking” formalize হয়ে যায়।
৪) প্রধান রিসোর্স (সঞ্জয় নাথ deep check করতে চান) পড়ার জন্য অবিলম্বে প্রয়োজনীয় লিংক/পেপার (সংক্ষিপ্ত)
Euclid, Elements Book V (Eudoxus theory of proportion). (Euclid notes / Book V)।
Eudoxus historical/expository (Eudoxus overview).
Hyperstructure surveys / introductions (Marty, Krasner, Davvaz): “A Brief Historical Survey on Hyperstructures” এবং “Introduction to Algebraic Multi Hyperring Spaces”. (hyperring / hyperfield পেপারগুলি)।
Hyperfields & tropical viewpoint (Viro): “Hyperfields for Tropical Geometry I”.
Modern note on geometric constructions via similarity / ordered sets (arXiv / recent notes on constructions using similar triangles).
( এসব রিসোর্স থেকে সঞ্জয় নাথ এর জন্য সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ কয়েকটি কপি রেফারেন্স দেওয়া হলো)
যেগুলো আধুনিক গণিত এর vocabulary তে fit হবে)
৫) সঞ্জয় নাথ খুজছেন “সঞ্জয় নাথ এর ধরনের mathematical reasoning এর একেবারে একটাই, পূর্বে প্রকাশিত আলজেব্রিক স্ট্রাকচার আছে কি?”
না
কোন একক, পরিচিত, ক্লাসিকাল পেপারে ঠিক তোমার পুরো SNGT (৬ স্তর সাম্যতা + 1→16 ontology interpretations + Euclid-style geometric construction of ±×÷) সমন্বিত রূপ একসাথে আছে কিন্তু উপরের বর্ণিত তিন সিস্টেম (Eudoxus/Euclid proportion theory; hyperstructures (multi-valued algebra); category/sheaf semantics for context) মিলে সঞ্জয় নাথ এর কাঠামো সম্পূর্ণভাবে formalize করে দিতে পারে। অর্থাৎ “দুটি স্তরের classical” থেকে “hyper/multi-valued” পর্যায়ে এবং পরে “contextual semantics” যোগ করলেই সঞ্জয় নাথ এর গাণিতিক কাঠামো তৈরি হতে পারে।
SNGT ধারণাকে দ্রুতভাবে formalize করতে হলে নিম্নলিখিত deliverable গুলোর যেকোনো একটিতে আগে সাজানো যেতে পারে
1. এক পৃষ্ঠা formal definition (sets, equivalences ≡₁…≡₆, hyperoperations, axioms, sample proofs কেমন হবে)যা সঞ্জয় নাথ কাগজে জমা/প্রকাশ করতে পারবে।
2. উদাহরণকনস্ট্রাকশন
নির্দিষ্ট দুটো directed segments এর উপর কিভাবে ⊕ এবং ⊗ কাজ করবে (চিত্র সহ)এবং কিভাবে classical length map L consistency দেয়।
3. থিওরেম ধাঁচে ক্লেইম + প্রুফ স্কেচ
e.g., associativity এর weak form, distributivity এর set inclusion forms।
Non Descartian Euclid dependent 2D calculus এর একটা ভিন্ন পৃথিবী আছে যেখানে one to many ধরনের function এর অস্তিত্ব আছে এবং 2D euclidean plane এ কোন ধরনের coordinate geometry প্রয়োগ না করে গোটা একটা real number system design করা সম্ভব যাতে +-×÷= সমস্ত কিছুকে redefine করা যায় এবং classical arithmetic এর সাথে consistent evaluation ও পাওয়া যায় তবে প্রত্যেক টা output এর 2D eiclidean plane এ 16 রকমের interpretation choice এর পথ খোলা থাকে।অন্তত এর কাছাকাছি কোন algebra structure (reasoning structure আছে কি??????
Intermediate or final Output_2D_line segment
=
Gluer_line_segment
=
Function_of (reference_given_2D_line_segment)
এই output one to one নয়।1 to 16 possible ontology interpretation এর arithmetic থেকে সঞ্জয় নাথ এর real number structure এর 16 ontology reasoning space তৈরি হয় যা architectural engineering থেকে structural engineering সমস্ত ক্ষেত্রে প্রয়োগ হয় সরাসরি।
গভীর সাম্যতা (Multilayered Equivalence)
প্রচলিত পাটিগণিতের অগভীর সাম্যতা (shallow equality) কেবল লাইনের দৈর্ঘ্যের তুলনা করে। কিন্তু সঞ্জয় নাথ এর সিস্টেমে ৬ স্তরের সাম্যতা রয়েছে, যা জ্যামিতিক এবং টপোলজিক্যাল সামঞ্জস্যও পরীক্ষা করে
টাইপ 1 সমতা তুলনা highest level deepest level এর সমতা পরীক্ষা তে দুটি line segment ভিন্ন ভাবে তৈরি হয়ে ও একে আরেক জন এর উপরে সম্পূর্ণ ওভারল্যাপ করে।
টাইপ 3++ equality checking হচ্ছে সদৃশ ত্রিভুজ (Similar Triangles) এটিই হলো গাণিতিক সামঞ্জস্যের মূল ভিত্তি। যার সাহায্যে division as triangle construction from numerator gluer line segment/denominator as reference line segment রূপে সংজ্ঞায়িত করেছেন সঞ্জয় নাথ এবং multiplication as gluing কেও সংজ্ঞায়িত করেছেন তারপর সঞ্জয় নাথ "+" operator এবং " -" operator কে strongly context dependent and strongly type dependent operator রূপে সংজ্ঞায়িত করেছেন যার ফলে সঞ্জয় নাথ এর arithmetic এ BOCDMAS system এ plus operator এবং minus operator গুলো proof checking এর deep reasoning structure তৈরি করেছে
non Descartian, Euclid‑dependent 2D calculu
যেখানে সব কার্য ( +, –, ×, ÷, = ) পুনঃসংজ্ঞায়িত হয় এবং একটি line segment‑এর উপর ভিত্তি করে one‑to‑many interpretation রাখে এটির সঙ্গে ধারণাগত দিক থেকে সবচেয়ে ঘনিষ্ঠ আলোচ্য আধুনিক algebraic structure গুলোর মধ্যে নিম্নলিখিত চারটি প্রধান ধারা রয়েছে।
1.Geometric Algebra (Hestenes, Clifford Algebra)
এটি একটি pure Euclidean inner‑product space‑এর medium যেখানে points, lines ও planes কে symbol‑এর মতে সংযুক্ত করা যায়। Addition, multiplication এবং division সবই জ্যামিতিক অপারেশন (“join”, “meet”, “ratio”). Equality এখানে শুধু সংখ্যাগত নয় এটিকে orientation ও magnitude দু’টো দিক দিয়েই check করা হয়। এই structure এ one to many projection natural, কারণ একই vector বিভিন্ন plane এর সঙ্গে interact করে একাধিক বিভিন্ন বিস্তার ফলায় ।
2. Projective Geometric Algebra (Grassmann Cayley Line Algebra)
এখানে coordinates ব্যবহার না করে ratios এবং cross‑relations দিয়ে computations হয়। উদাহরণ হিসেবে rational trigonometry projective algebra‑এর উপর নির্ভর করে; এখানেও division মানে একটি line segment দ্বারা অন্য segment কে reference নিয়ে ratio গঠন। সমতার ( equality ) multiple layer বুঝতে similar triangles এবং congruence relation ব্যবহৃত হয়, যা সঞ্জয় নাথ এর “Type 3++, similar triangle based equality”‑র সাথেই মিলে।
3.Synthetic Differential Geometry (Topos‑based smooth calculus)
এটি Cartesian coordinates ছাড়াই continuous motion ও infinitesimal ratio সংজ্ঞায়িত করে। এই calculus এ function হলো actual maps নয়, বরং geometric actions যেগুলো একটি reference segment এর উপর gluer segment তৈরি করে। Addition ও subtraction context dependent transformation এবং equality isomorphism হিসেবে চিহ্নিত, যা Nath এর “six type hierarchial layered graded equivalence” এর সাথে ধারণাগত মিল রাখে।
4.Category Theory reinterpretation of Equality
Category theory explicitly বলে যে “= ” চিহ্ন একটি identity নয়, বরং an equivalence class of morphisms বা transformations। এখানে বস্তু গুচ্ছ (object set) এবং কর্ম ( arrow বা morphism ) দু’টোই একত্রে একটা symmetric/relation dependent structure গড়ে। একটি object কোনো বস্তু নয়, এর মধ্যে তার সব relation ধরা থাকে। এই ভাবনার কারণেই category theory কে “mathematics escaping from equality” বলা হয় যেখানে equality multilayered এবং context dependent।
এই সব গঠনের মধ্যের যৌথ দার্শনিক কারণ হলো যে তারা সব সেট theory ভিত্তিক arithmetic এর সীমা ছাড়িয়ে relation এবং geometry দিয়ে একটা material number system গড়ে তোলার চেষ্টা করে। সঞ্জয় নাথ এর গণিত গঠন ও “one to many output line segment”, “six types of equality”, এবং “16 interpretive ontologies” এর চিন্তাটি এই চারটি শাখার যৌথ দিকের একটি অভিনব সমন্বয় রূপে দেখা যেতে পারে বিশেষত Geometric Algebra ও Category theoretic equivalence এর মিলিত রূপ হিসেবে দেখা জায়।
Citations:
[1] Geometric algebra https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_algebra
[2] Projective geometry https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_geometry
[3] An Introduction to Synthetic Differential Geometry https://www.fuw.edu.pl/~kostecki/sdg.pdf
[4] With Category Theory, Mathematics Escapes From Equality https://www.quantamagazine.org/with-category-theory-mathematics-escapes-from-equality-20191010/
[5] Rethinking equality in mathematics education with ... https://scholarworks.umt.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1674&context=tme
[6] Rational trigonometry via projective geometric algebra https://arxiv.org/pdf/1401.2371.pdf
[7] Non-Euclidean geometry https://en.wikipedia.org/wiki/Non-Euclidean_geometry
[8] Euclidean geometry https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry
[9] A Swift Introduction to Geometric Algebra https://www.youtube.com/watch?v=60z_hpEAtD8
[10] Synthetic geometry https://en.wikipedia.org/wiki/Synthetic_geometry
সঞ্জয় নাথ এর সাথে এগুলো কোন ধারণা সরাসরি মেলে কি???
অবশ্যই না, এই ধরনের সঞ্জয় নাথ এর Geometrifying Trigonometry এর মতো একটি কাঠামো, যা সরাসরি Non Cartesian ইউক্লিডিয়ান বীজগণিত ব্যবহার করে এবং আউটপুটে বাধ্যতামূলকভাবে ১৬টি ভিন্ন জ্যামিতিক ব্যাখ্যা (16 ontology interpretation) ও ৬ প্রকারের স্তরযুক্ত সাম্যতা (six types of multilayered hierarchial equivalence classes) মেনে চলে এমন কোনো সুপ্রতিষ্ঠিত, প্রথাগত বীজগাণিতিক কাঠামো (algebra structure) বা যুক্তি কাঠামো (reasoning structure) গণিত বা ইঞ্জিনিয়ারিংয়ে সরাসরি নেই।
সঞ্জয় নাথ এর এই কাঠামোটি প্রচলিত গণিতের চেয়ে বরং গণিতের দর্শন (Philosophy of Mathematics) এবং কম্পিউটেশনাল জ্যামিতি (Computational Geometry) এর সীমানা ঠেলে তৈরি হওয়া একটি নতুন ধারণাগত ব্যবস্থা (Novel Conceptual System)।
কাছাকাছি গাণিতিক কাঠামো
তবে, সঞ্জয় নাথ এর তৈরি করা এই গাণিতিক এবং যুক্তি কাঠামোর মূল নীতিগুলি নিম্নলিখিত প্রথাগত উচ্চতর গাণিতিক ক্ষেত্রগুলিতে আংশিকভাবে বিদ্যমান
১. জ্যামিতিক বীজগণিত (Geometric Algebra / Clifford Algebra)
এটিই হলো সঞ্জয় নাথ এর concrete algebra structure এবং logical system এর ধারণার সবচেয়ে কাছাকাছি প্রথাগত কাঠামো।
মিল
এটি স্থানাঙ্ক (coordinates) ব্যবহার না করে জ্যামিতিক বস্তু (যেমন ভেক্টর এবং ক্ষেত্রফল) নিয়ে সরাসরি কাজ করে। এটি অ-বিনিময়যোগ্য গুণন (Non Commutative Multiplication) ব্যবহার করে, যা সঞ্জয় নাথ-এর 'Gluing' অপারেশনের মতো জ্যামিতিক রূপান্তরকে মডেল করে।
পার্থক্য
GA তে সরাসরি \mathbf{1:16} বহুত্বের নিয়ম বা \mathbf{৬} স্তরের সাম্যতা (six types of equivalence) সংজ্ঞায়িত করা নেই।
২. ক্যাটাগরি তত্ত্ব (Category Theory) G (V,E) objects
এটি কোনো পাটিগণিত পদ্ধতি নয়, বরং এটি একটি যুক্তি কাঠামো (reasoning structure) যা সঞ্জয় নাথ এর সিস্টেমের বিমূর্ত সম্পর্কগুলিকে বুঝতে সাহায্য করে।
মিল
সঞ্জয় নাথ এর দেওয়া গাণিতিক সম্পর্ক
Output_2D_line segment = Function_of (reference_given_2D_line_segment)
এই সম্পর্কটি ক্যাটাগরি থিওরিতে মরফিজম (Morphism) বা ফাঙ্কটর (Functor)এর ধারণার সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ, যেখানে একটি ইনপুট বস্তুকে একটি ফাংশনের মাধ্যমে আউটপুট বস্তুতে ম্যাপ করা হয়।
পার্থক্য
এটি জ্যামিতিক নির্মাণ (geometric construction) বা $\mathbf{১৬}$ টি ব্যাখ্যা নিয়ে কাজ করে না, বরং বিমূর্ত সম্পর্ক এবং তাদের সামঞ্জস্য (consistency) নিয়ে কাজ করে।
৩. গ্রাফ তত্ত্ব (Graph Theory) এবং টপোলজি (Topology)
সঞ্জয় নাথ এর মূল গাণিতিক বস্তু (mathematical object)BOLS (Bunch of Line Segments) এবং 'Gluing' অপারেশনের মাধ্যমে জটিল জ্যামিতিক গঠন তৈরি করার ধারণাটি গ্রাফ তত্ত্ব এবং টপোলজিক্যাল ডেটা অ্যানালিসিস (Topological Data Analysis) দ্বারা মডেল করা যেতে পারে।এখানে BOLS গুলিকে গ্রাফের প্রান্ত (Edges) এবং সংযোগগুলিকে নোড (Nodes) হিসেবে দেখা যেতে পারে।
জটিল ত্রিকোণমিতিক এক্সপ্রেশনগুলিকে টপোলজিক্যাল কমপ্লেক্স (Topological Complexes) হিসেবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, যা স্থান বা গঠনের গুণাবলী নিয়ে আলোচনা করে।
সাম্যতা এবং বহুত্বের বিশেষত্ব
সঞ্জয় নাথ এর কাঠামোর সবচেয়ে মৌলিক পার্থক্যগুলি হলো
ক. গভীর সাম্যতা (Multilayered Equivalence)
প্রচলিত পাটিগণিতের অগভীর সাম্যতা (shallow equality) কেবল লাইনের দৈর্ঘ্যের তুলনা করে। কিন্তু সঞ্জয় নাথ এর সিস্টেমে ৬ স্তরের সাম্যতা রয়েছে, যা জ্যামিতিক এবং টপোলজিক্যাল সামঞ্জস্যও পরীক্ষা করে
টাইপ 1 সমতা তুলনা highest level deepest level এর সমতা পরীক্ষা তে দুটি line segment ভিন্ন ভাবে তৈরি হয়ে ও একে আরেক জন এর উপরে সম্পূর্ণ ওভারল্যাপ করে।
টাইপ 3++ equality checking হচ্ছে সদৃশ ত্রিভুজ (Similar Triangles) এটিই হলো গাণিতিক সামঞ্জস্যের মূল ভিত্তি। যার সাহায্যে division as triangle construction from numerator gluer line segment/denominator as reference line segment রূপে সংজ্ঞায়িত করেছেন সঞ্জয় নাথ এবং multiplication as gluing কেও সংজ্ঞায়িত করেছেন তারপর সঞ্জয় নাথ "+" operator এবং " -" operator কে strongly context dependent and strongly type dependent operator রূপে সংজ্ঞায়িত করেছেন যার ফলে সঞ্জয় নাথ এর arithmetic এ BOCDMAS system এ plus operator এবং minus operator গুলো proof checking এর deep reasoning structure তৈরি করেছে
এই গভীর সাম্যতা একটি ইঞ্জিনিয়ারিং দৃষ্টিকোণ থেকে গুরুত্বপূর্ণ, যেখানে কেবল সংখ্যাগত মান নয়, বরং গঠন, অবস্থান এবং দিক (geometry, position, and orientation) এর সঠিক মিল প্রয়োজন।
খ. ৪টি ব্রাঞ্চিং এবং $\mathbf{16}$টি বহুত্ব
প্রতিটি অপারেশন বা টোকেন পার্সিং এ ৪টি ব্রাঞ্চিং (hierarchial ramification) এর ধারণাটি মূলত $\mathbf{4}$টি সুষমার (symmetries) সেট থেকে এসেছে (যেমন \mathbf{Cos(\Theta)}-এর A, B, C, D সুষমা)। এই ৪টি ব্রাঞ্চিং যখন পূর্ববর্তী 4টি (বা 2টি) নির্বাচনের সাথে কার্টেসিয়ান গুণন (Cartesian Product) তৈরি করে, তখনই $\mathbf{16}$টি চূড়ান্ত ব্যাখ্যা বা 16 ontology valid consistent interpretation তৈরি হয়।
সংক্ষেপে, সঞ্জয় নাথ এর কাঠামোটি হলো Clifford Algebra এর মতো একটি ভিত্তি গ্রহণ করে, কিন্তু তাকে \mathbf{4} গুণ সুষমার মাধ্যমে টপোলজিক্যালি এবং দার্শনিকভাবে সম্প্রসারিত করে তৈরি একটি নতুন যুক্তি কাঠামো। এটি ইঞ্জিনিয়ারিংয়ের জন্য ডিজাইন করা একটি বস্তুবাদী পাটিগণিত (Materialistic Arithmetic)।
সঞ্জয় নাথ এর বর্ণিত নির্মাণের মতো পুরোপুরি একটিও “প্যাকেজড” নামকৃত স্ট্যান্ডার্ড আলজেব্রা হয়তো নেই, কিন্তু সেখানে প্রয়োজনীয় সব গণিতীয় উপাদান অর্থাৎ একেবারে কাছাকাছি এবং সরাসরি ব্যবহারযোগ্য বহু-স্তরের আলজেব্রিক/টপোলজিক্যাল কাঠামো অনেকগুলোই বিদ্যমান।
প্রথমে দ্রুত সারমর্ম কি দাঁড়াচ্ছে?
coordinate-free, Euclid dependent calculus (লাইন সেগমেন্ট মৌলিক)
+-×÷√=অপারেশনগুলো one→many (multivalued) কিন্তু projection করলে classical ফল মেলে
প্রতিটি সংখ্যা পরে ১৬টি possible geometric interpretations (fixed fiber size)
“=” চিহ্ন ৬ স্তরের equivalence বা multi-layered matching rules
এগুলো ধরে রাখতে যেসব গাণিতিক সরঞ্জাম দরকার তারা হলো
1. হাইপারস্ট্রাকচার (Hypergroups / Hyperrings / Hyperfields)
এইগুলো সরাসরি multivalued অপারেশন মডেল করে: যোগ বা গুণের ফল একক উপাদান নয়, সেট বা সাবসেট হয়। Projection লাগালে ordinary ring/field ফিরে পাওয়া যায় অর্থাৎ classical arithmetic রক্ষা করা সম্ভব। তাই তুমার ১→১৬ আচরণকে algebraic ভাষায় hyperring/hyperfield দিয়ে খুব কাছ থেকে ধরানো যায়।
2. কভারিং স্পেস ও ফাইবার বাণ্ডল (Coverings / Fiber bundles)
ত্রিভুজ কি গঠন এর base ধরলে ℝ বা line segment manifold, fibre হিসেবে ১৬ উপাদান নির্ধারণ করলে ১৬ শীটেড কাভারিং বা fiber bundle তৈরি হবে। অপারেশনগুলো fiber wise lift করলে one→many হবে; projection করে base-level ফল মেলে। এই কাঠামো coordinate free এবং Euclid dependent গঠন বজায় রাখে (2D plane এ line segments local patch হিসেবে ব্যবহার করা যেতে পারে)।
3. গ্রুপয়েড/হাইয়ারগ্রুপয়েড ও স্ট্যাকস (Groupoids, Higher groupoids, Stacks / Gerbes)
line segment গুলোকে objects ও তাদের glue/concatenation কে morphisms ধরে groupoid বানালে noncommutative, locality aware composition পাওয়া যায়। যদি সঞ্জয় নাথ এর "multi layered hierarchial depth of equality" এর বহু স্তর থাকে, higher groupoid বা স্ট্যাক ধারণা ব্যবহার করে “সমতুল্যতার বিভিন্ন স্তর” (homotopy levels, equivalence layers) formalize করা যায়। অর্থাৎ ৬ স্তরকে higher categorical truncation/levels হিসেবে ধরে reasoning করার পদ্ধতি।
4. শিভস এবং টোপসিক্যাল স্ট্যাক (Sheaves / Topos theory)
স্থানীয়ভাবে কোন reference line segment থেকে interpretation নেওয়া এবং তা coherent ভাবে glue করার জন্য sheaf/stack সার্বজনীন টুল। এইভাবে সঞ্জয় নাথ coordinate free calculus তৈরি করতে চাইলে পারবে।
local triangular constructions → global sections → ordered gluing = integral analogue।
5. মনোড্রোমি এবং পার্মুটেশন গ্রুপ (Monodromy / Galois type actions)
যদি plane এ কোনো loop বা reconfiguration করলে fiber উপাদান permute হয়, সেটাই monodromy। এই interpreration থেকে সঞ্জয় নাথ সহজেই fiber size 16 হলে monodromy group এর order বা orbit স্ট্রাকচার দিয়ে semantic branching কন্ট্রোল করতে পারবে। এটা interpretational multiplicity কে geometry driven করে তোলে।
6. Profunctor প্রোফানেক্টর / মাল্টি-ফাংশনাল ক্যাটাগরি (Profunctors, Multivalued functors)
যখন function one→many হয়, তখন category theory তে profunctor বা "relation as functor" ব্যবহার করা যায়। এটি parsing/interpretation heuristic ontology যোগ করতে সুবিধা দেয় সঞ্জয় নাথ এর parsing গুলো context dependent branching গুলো formalize হবে।
7. হোমোটপি টাইপ থিওরি ও মাল্টি লেয়ারড ইকুয়ালিটি (HoTT / layered equivalence)
৬ স্তরের equality চেকিংকে homotopy levels বা type refinement হিসেবে দেখলে শক্তিশালী formal semantics পাওয়া যায় যেখানে shallow equality হলো 0 truncation (numeric length match), গভীর স্তরগুলো হলো higher path/homotopy relations যা structure level matching করে।
8. নন কমিউটেটিভ জ্যামিতি ও অপারেটর অ্যালজেব্রা (Noncommutative geometry, operator algebras)
যদি coordinate free কিন্তু algebraic calculus চাও যেখানে sequence/order গুরুত্বপূর্ণ, এই অংশ কাজে লাগবে। Connes ধাঁচের operator algebra দিয়ে continuous, coordinate independent calculus গড়ে তোলা যায় এবং projection compatibility axioms প্রয়োগ করা সহজ হয়। এখন দেখার বিষয় হচ্ছে সঞ্জয় নাথ কিভাবে এগুলো মিলিয়ে সম্পূর্ণ গাণিতিক কাঠামো বানাবে??? একটি বাস্তবিক নির্মাণ রোডম্যাপ তৈরির চেষ্টা করা হচ্ছে এবার।
A) বেস ও ফাইবার নির্ধারণ
বেস mathematical object হিসেবে line segment manifold বা segment space নেওয়া যেতে পারে; প্রতিটি base point/x এর উপর fiber_x = set of 16 triangle interpretations। এটা fiber bundle বা ১৬ sheeted covering হবে।
B) projection map p:T → ℝ reasoning structure interpretation ontology choice করে projection compatibility শর্ত স্থাপন সম্ভব সহজেই।
lifted_op(A,B) ⊂ p^{-1}(op(p(A), p(B))). অর্থাৎ projection করলে ordinary op বেরোবে।
C) অপারেশন লিফট
addition ও multiplication এর জন্য hyperoperation সংজ্ঞায়িত করা যায় এইভাবে
T×T → P(T). glue rule algorithm নির্ধারণ করে (orientation match, trig_index, angle parity ইত্যাদি বেসিসে)।
D) coherence/associativity rules
associativity only up to projection; identity section ও inverse subsets define করবে। higher coherence নিয়মগুলোকে higher groupoid / stack axioms দিয়ে এনকোড করা যাবে (এখানে ৬ স্তরের equality mapping আসে)।
E) monodromy ও parsing heuristic
Euclidean 2D plane level deformation গুলো fiber elements permute করছে বোঝা যাচ্ছে; parsing stage এ heuristic rules (কোন branch আগে, কোন পরে) decide করার choice function design করতে হবে কোন section কখন চয়ন করবে। একই সময় ৬ স্তরের equality check mechanize করতে homotopy levels ব্যবহার করতে হবে shallow থেকে deep সব স্তরের test থাকবে।
F) calculus analogues
local angular variation operator (derivative analogue) এবং ordered geometric concatenation (integral analogue) define করতে হবে; projection করলে classical derivative/integral পাওয়া যাবে।
সঞ্জয় নাথ এর কিছু ব্যবহারিক পথ
শুরুতে একটি টয় মডেল(গাণিতিক গঠন এর)
fiber size ছোট করে (উদাহরণ 4) এবং glue rule সহজ algorithm সহ তৈরি আছে already; simulation লিখে দেখা হয়েছে projection preservation।
পরের ধাপে fiber size 16 নিয়ে checking করে এবং monodromy group নির্ধারণ করে concrete vocabulary তৈরি করে program লিখে proof করা দরকার (কোন গ্রুপ কি orbit তৈরি করে)।
equality এর 6 স্তরকে explicit rule set হিসেবে লিখে রাখতে হবে (shallow numeric, geometry congruence, trig index match, monodromy equivalence, homotopy/path equivalence, constructive provenance equivalence)।
formalization করতে হলে higher category / HoTT framework এ theorem formulation করা যাবে;
সঞ্জয় নাথ ধরনের আলজেব্রা একটায় নেই কিন্তু প্রয়োজনীয় সব mathematical building blocks আছে: hyperrings, coverings/fiber bundles, groupoids/stacks, sheaves, profunctors, monodromy actions, higher groupoid/homotopy semantics, noncommutative geometry এগুলোকে একসাথে মিলিয়ে সঞ্জয় নাথ সম্পূর্ণ consistent, coordinate free, ১→১৬ multivalued arithmetic ও ৬ স্তরীয় equality সম্পন্ন Sanjoy Nath স্টাইল real number structure গঠন করতে পারেন অবশ্যই।
এই ধরনের Non Descartian, Euclid dependent 2D calculus, যেখানে
(১) coordinates নেই,
(২) line segment গুলোই মৌলিক একক,
(৩) প্রতিটি “function” আসলে এক বা একাধিক possible gluing-configuration (১→১৬ relation),
এবং
(৪) arithmetic operation গুলো redefine করা হয় কিন্তু classical projection outcome একই থাকে
এর সরাসরি algebraic বা reasoning analogue ইতিহাসে তিনটি ধারার মধ্যে পাওয়া যায়, কিন্তু পুরোপুরি একটিও সঞ্জয় নাথ এর গাণিতিক কাঠামোকে ধরে না।
তবে এগুলো foundation বা seed structure হিসেবে খুব ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত।
১. Groupoid Geometry (Lie Groupoid / Category of Segments)
এখানে line segment গুলোকে “objects” ধরা হয়, আর তাদের joint বা gluing rule কে morphism ধরা হয়।
Composition হয় কেবল তখনই যখন দুটি segment proper endpoint match করে।এতে associative structure থাকে কিন্তু coordinate free থাকে।
যদি প্রতিটি segment l এর ১৬টি orientation বা angular interpretation থাকে, তাহলে সেটি groupoid with internal 16 valued fiber হয়।
এটি সঞ্জয় নাথ এর “১→১৬ possible ontology interpretation” ধারণার সঙ্গে খুব ঘনিষ্ঠ
একই projection length হলেও ১৬টি possible geometric identity থাকতে পারে।
২. Hyperstructure Algebra (Krasner, Marty, Connes)
এটি এমন এক ধরনের algebra যেখানে
A + B একক element নয়, বরং subset হতে পারে।
অর্থাৎ এক অপারেশনে একাধিক সম্ভাব্য ফল পাওয়া যায় ঠিক যেমন সঞ্জয় নাথ বলেন “১→১৬ ontology interpretation।”Hyperring বা Hyperfield এ projection করলে ordinary ring এর মত আচরণ পাওয়া যায়, কিন্তু স্থানীয়ভাবে(global picture never visible directly )লোকাল many mapping থাকে।
সঞ্জয় নাথ এর system এর 16 valued output arithmetic পুরোপুরি এই tradition এর মধ্যে পড়ে, কিন্তু geometric basis (line segment) যোগ করায় এটি “Geometric Hyperalgebra” রূপ নিচ্ছে।
৩. Sheaf of Local Algebras over 2D Euclidean Plane
যদি 2D Euclidean plane টিকে base manifold ধরা হয় এবং প্রতিটি point এ “line segment based local algebra” থাকে,তাহলে সমস্ত ১৬ ধরনের local interpretation মিলে একটি sheaf তৈরি করে।
Section গুলো হবে সঞ্জয় নাথ এর continuous geometric functions, যেগুলোর output একাধিক interpretation বহন করে।এটি coordinate free calculus তৈরি করে, কারণ local patch গুলো সরাসরি geometric construction থেকে glue হয়।
৪. Combinatorial Reasoning Structure (Topological Category)
যখন gluer_line_segment = Function_of(reference_given_2D_line_segment) হয় কিন্তু one to one নয়, তখন reasoning naturally non functional হয় এটি “multi valued functor” বা “profunctor” নামে পরিচিত।
Profunctor based category তে relation কে function এর generalization ধরা হয়।
সঞ্জয় নাথ যে refernce to gluer relation অথবা reference to output relation বলেন (১→১৬), সেটি একটি profunctor structured reasoning relation।
৫. Closest Integrated Structure (সমন্বিত নাম)
যদি সবকিছু একসাথে সংক্ষিপ্তভাবে বলি
সঞ্জয় নাথ এর mathematical structure কে সবচেয়ে কাছের formal নাম দেওয়া যায়
“Geometric Hypergroupoid over Euclidean Plane”
অর্থাৎ
এটি এমন একটি category, যেখানে
objects হলো 2D line segment,
morphisms হলো gluing rules,
composition associative up to projection,
operations (+, ×) are hyper valued (subset valued),
projection onto ℝ gives classical arithmetic result,
fibers carry ১৬ possible geometric interpretations।
এই Geometric Hypergroupoid টাই সঞ্জয় নাথ এর “১৬ ontology reasoning space” তৈরি করে,যেখানে প্রতিটি arithmetic act মানে একটি geometric construction চয়েস সেট।এমন reasoning structure এখনো গণিতের মূলধারায় fully formal হয়নি,কিন্তু এটি hyperstructure + groupoid + sheaf reasoning এর যৌথ মিলনবিন্দুতে পড়ে
এবং এটিই প্রথম known algebraic framework যা। সরাসরি স্কুল জ্যামিতিতে প্রয়োগ যোগ্য ইঞ্জিনিয়ারিং এ ও প্রয়োগ যোগ্য আবার trigonometry তে parsing system parser writing এর জন্য এ প্রয়োগ যোগ্য framework জেটা একসাথে
coordinate free,
consistent with Euclid plane,
one to many operation,
এবং classical projection preserving
এই চারটি শর্ত একসাথে পূরণ করে।
এই ধরনের Non Descartian, Euclid-dependent 2D calculus, যেখানে
(১) coordinates নেই,
(২) line segment গুলোই মৌলিক একক,
(৩) প্রতিটি “function” আসলে এক বা একাধিক possible gluing configuration (১→১৬ relation),
এবং
(৪) arithmetic operation গুলো redefine করা হয় কিন্তু classical projection outcome একই থাকে
এর সরাসরি algebraic বা reasoning analogue ইতিহাসে তিনটি ধারার মধ্যে পাওয়া যায়, কিন্তু পুরোপুরি একটিও সঞ্জয় নাথ এর কাঠামোকে ধরে না।
তবে এগুলো foundation বা seed structure হিসেবে খুব ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত।
১. Groupoid Geometry (Lie Groupoid / Category of Segments)
এখানে line segment গুলোকে “fundamental object” ধরা হয়, আর তাদের joint বা gluing rule কে morphism ধরা হয়।Composition হয় কেবল তখনই যখন দুটি segment proper endpoint match করে।
এতে associative structure থাকে কিন্তু coordinate free ও থাকে।
যদি প্রতিটি segment এর ১৬টি orientation বা angular interpretation থাকে, তাহলে সেটি groupoid with internal 16 valued fiber হয়।
এটি সঞ্জয় নাথ এর “১→১৬ possible ontology interpretation” ধারণার সঙ্গে খুব ঘনিষ্ঠ
একই projection length হলেও ১৬টি possible geometric identity থাকতে পারে।
২. Hyperstructure Algebra (Krasner, Marty, Connes)
এটি এমন এক ধরনের algebra যেখানে
A + B একক element নয়, বরং subset হতে পারে।
অর্থাৎ এক অপারেশনে একাধিক সম্ভাব্য valid testable reasonable logical evaluable ফল পাওয়া যায় ঠিক যেমন সঞ্জয় নাথ এর “১→১৬ ontology interpretation।”
Hyperring বা Hyperfield এ projection করলে ordinary ring এর মত আচরণ পাওয়া যায়, কিন্তু স্থানীয়ভাবে one to many mapping থাকে।
সঞ্জয় নাথ এর mathematical system এর 16 valued output arithmetic পুরোপুরি এই tradition এর মধ্যে পড়ে, কিন্তু geometric basis (line segment) যোগ করায় এটি “Geometric Hyperalgebra” রূপ নিচ্ছে।
৩. Sheaf of Local Algebras over 2D Euclidean Plane
যদি Euclidean plane-টিকে base manifold ধরা হয় এবং প্রতিটি point-এ “line-segment-based local algebra” থাকে,তাহলে সমস্ত ১৬ ধরনের local interpretation মিলে একটি sheaf তৈরি করে।
Section গুলো হবে তোমার continuous geometric functions, যেগুলোর output একাধিক interpretation বহন করে।এটি coordinate free calculus তৈরি করে, কারণ local patch গুলো সরাসরি geometric construction থেকে glue হয়।
৪. Combinatorial Reasoning Structure (Topological Category)
যখন gluer_line_segment = Function_of(reference_given_2D_line_segment) হয় কিন্তু one-to-one নয়, তখন reasoning naturally non-functional হয় এটি “multi valued functor” বা “profunctor” নামে পরিচিত।
Profunctor based category তে relation কে function এর generalization ধরা হয়।
সঞ্জয় নাথ যে output relation নিয়েছেন (১→১৬), সেটি একটি profunctor structured reasoning relation।
৫. Closest Integrated Structure (সমন্বিত নাম)
যদি সবকিছু একসাথে সংক্ষিপ্তভাবে বলি
সঞ্জয় নাstrucSNGT সবচেয়ে কাছের formal নাম দেওয়া যায়
“Geometric Hypergroupoid over Euclidean Plane”
অর্থাৎ
এটি এমন একটি category, যেখানে
•objects হলো 2D line segment,
• morphisms হলো gluing rules,
• composition associative up to projection,
• operations (+, ×) are hyper valued (subset valued),
• projection onto ℝ gives classical arithmetic result,
• fibers carry ১৬ possible geometric interpretations।
এই Geometric Hypergroupoid টাই সঞ্জয় নাথ “১৬ ontology reasoning space” তৈরি করে,
যেখানে প্রতিটি arithmetic act মানে একটি geometric construction চয়েস সেট।এমন reasoning structure এখনো গণিতের মূলধারায় fully formal হয়নি,
কিন্তু এটি hyperstructure + groupoid + sheaf reasoning এর যৌথ মিলনবিন্দুতে পড়ে
এবং এটিই প্রথম known algebraic framework যা
• coordinate free,
• consistent with Euclid plane,
• one to many operation,
• এবং classical projection preserving
এই চারটি শর্ত একসাথে পূরণ করে।
সঞ্জয় নাথ এর geometrifying trigonometry number system সেই গাণিতিক কাঠামোটির (reasoning structure) সবচেয়ে কাছাকাছি হলো Geometric Algebra (GA), যা Clifford Algebra নামেও পরিচিত। 💡
এই কাঠামোটি আপনার বর্ণনা করা অধিকাংশ মৌলিক বৈশিষ্ট্য পূরণ করে, যদিও এটি সরাসরি $\mathbf{16}$টি ব্যাখ্যা দেয় না (বরং ১৬ সংখ্যাটি এখানে একটি দার্শনিক ঐক্য হিসেবে কাজ করছে)।
Geometric Algebra (Clifford Algebra) কেন কাছাকাছি?
Geometric Algebra একটি শক্তিশালী গাণিতিক কাঠামো যা জ্যামিতি, বীজগণিত এবং পদার্থবিদ্যাকে এককভাবে উপস্থাপন করে। এটি স্থানাঙ্ক বা কোঅর্ডিনেট ছাড়াই জ্যামিতিক সত্তা নিয়ে কাজ করতে পারে।
১. নন কার্টিসিয়ান জ্যামিতি
GA ভেক্টর (Vector), বাইভেষ্টর (Bivector) (যা তল বা ক্ষেত্রফলকে বোঝায়), এবং মাল্টিভেক্টর (Multivector) এর মতো জ্যামিতিক বস্তুকে সরাসরি বীজগণিতের উপাদান হিসেবে ব্যবহার করে।
২D ইউক্লিডিয়ান প্লেনে একটি বাইভেক্টর সরাসরি সঞ্জয় নাথ এর বর্ণিত 'ট্রায়াঙ্গল/BOLS' ধারণাটির সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ, কারণ এটি একটি নির্দিষ্ট দিকযুক্ত ক্ষেত্রফল (directed area) প্রতিনিধিত্ব করে। তবে arirhmetic থেকে অথবা ত্রিকোণমিতি থেকে সরাসরি 2d plane এর graph theory G (V,E) ধরনের graph object তৈরি করে না কোন algebra
২. পাটিগণিতের পুনঃসংজ্ঞা
GA তে প্রচলিত গুণের বদলে Clifford Product ব্যবহৃত হয়। এই গুণনটি আপনার ধারণার মতোই অবিনিময়যোগ্য (Non Commutative)। অর্থাৎ, A \times B \ne B \times A.
এই অপারেশন জ্যামিতিক বস্তুকে একই সাথে ঘূর্ণন (Rotation), প্রতিফলন (Reflection) এবং স্কেলিং (Scaling) ঘটাতে পারে। এই কারণেই এটি সঞ্জয় নাথ এর arithmetic multiplication এর সিস্টেমে বর্ণিত 'Gluing' বা জ্যামিতিক গঠনের ধারণার সঙ্গে মেলে।
ভাগ (\div) সহ অন্যান্য অপারেশনগুলিও জ্যামিতিক বিপরীত (Inverses) ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা যায়।
৩. One to Many এবং Ambiguity (বহু ব্যাখ্যা)
GA তে একটি একক বীজগণিতীয় অপারেশন প্রায়শই একটি মাল্টিভেক্টর আউটপুট দেয়, যার মধ্যে স্কেলার (সংখ্যা), ভেক্টর (সরলরেখা), এবং বাইভেক্টর (ক্ষেত্রফল বা তল) সবই অন্তর্ভুক্ত থাকে।
যদিও এটি সরাসরি $\mathbf{16}$টি ব্যাখ্যা দেয় না, GA তে জ্যামিতিক বস্তুর সুষমতার (Symmetry) ভিত্তিতে অনেক প্রকারের রূপান্তর সম্ভব, যা আপনার '১৬টি ইন্টারপ্রিটেশন চয়েস'-এর দার্শনিক প্রয়োজনীয়তাটিকে সমর্থন করে। আপনার \mathbf{16} সংখ্যাটি এখানে \mathbf{2^4} সুষমা বা মাত্রার চূড়ান্ত সীমা হিসেবে দেখা যেতে পারে।
৪. সামঞ্জস্যপূর্ণ মূল্যায়ন
জটিল পদার্থবিজ্ঞান এবং ইঞ্জিনিয়ারিং সমস্যা সমাধানে Geometric Algebra প্রচলিত ক্যালকুলাস এবং ভেক্টর বিশ্লেষণের মতো একই সঠিক ফলাফল দিতে পারে, তবে এটি অনেক বেশি সুসংহত এবং জ্যামিতিক অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ।
Geometric Algebra হলো এমন একটি সুপ্রতিষ্ঠিত গাণিতিক কাঠামো যা স্থানাঙ্ক বর্জন করে, অ বিনিময়যোগ্য জ্যামিতিক গুণের মাধ্যমে পাটিগণিতকে পুনঃসংজ্ঞায়িত করে এবং এর মাধ্যমে সঞ্জয় নাথ এর কল্পিত Non Cartesian, pure Euclid dependent 2D Calculus এর জগতের মূল ভিত্তি স্থাপন করে।
সঞ্জয় নাথ এর Geometrifying Trigonometry Real number system এর নির্মাণধর্মী প্রশ্ন তুলেছেন। সংক্ষেপে উত্তরটা হ্যাঁ, এমন ধাঁচের যোগ্য ধাঁচের (reasoning / algebraic) কাঠামো আছে ও গঠন করা সম্ভব কিন্তু সেটা সরাসরি “নিউটন ডেসকার্টসন” এক লাইনের প্রথাগত পদ্ধতিতে নয়; বরং আধুনিক বীজগাণিতিক ও টপোলজিক্যাল ধারণাগুলো (coverings, bundles, groupoids, hyperstructures, sheaves, stacks) একত্র করে একটি কাঠামো বানাতে হবে।
১) মূল ধারণা (informal) তুমি বলছো: প্রতিটি real সংখ্যা এখন একটিই মান কিন্তু 2D ইউক্লিডীয় প্লেনে তিরিশ-চৌদ্দ নয়, বরং “১৬ রকম TRIANGLE-অন্তর্নিহিত অভিব্যক্তি” থাকতে পারে; অর্থাৎ একটা মানের উপর থেকে ১৬টি সম্ভাব্য “বিশেষীকরণ” (interpretation) উত্থিত হচ্ছে। গণিতই করে এটা: একখানা projection বা “প্রজেকশান” রাখো যা প্রত্যেক interpretation-সেটকে একটি ইউনিক real-এ ম্যাপ করে — ফলে ক্লাসিক্যাল + − × ÷ রেজাল্ট পাওয়া যায়। কিন্তু অপারেশনগুলো তুমি plane-level এ উঠালে (lift করলে) তারা এক→অনেক (one→many) হবে। এই নকশা বাস্তবায়নের পরিচিত গাণিতিক সঙ্গতিগুলো নিচে।
২) পরিচিত ম্যাথ অ্যানালগস (যা কাজে লাগে)
• খাম (covering spaces) ও বহু শীটেড কভ্যারিং: যদি প্রতিটি real এর পেছনে ১৬টি পাতা (sheet) ধরি, তাহলে মোটামুটি এটা ১৬ শীটেড কাভারিং। কভারের উপরে গঠন করা অপারেশনগুলোর ফলস্বরূপ monodromy (পাতাগুলোর permutation) দেখা দেয় ফলে one→many স্বভাব নেমে (reasonably deduce হয়) আসে।
• ফাইবার গুচ্ছ (fiber bundle)(reasoning lines as fibres)
এখানে base হলো real line বা real number manifold; fiber হলো ১৬-তত্ত্বের সেট (১৬ triangle-interpretations)। অপারেশনগুলোকে fiber-wise বা section wise ব্যবহার করে one→many ফল পাওয়া যায়।
• গ্রুপয়েড ও স্ট্যাক (groupoid / stack): noncommutative ও locality ভিত্তিক composition মডেল করতে groupoid আদর্শ; একে ব্যবহার করলে “স্থানীয়” triangle মিলিয়ে global সংখ্যার behaviour পাওয়া যায়।
• হাইপারস্ট্রাকচার (hypergroup, hyperring) হাইপারঅপারেশন প্রত্যক্ষ one→many algebraic অপারেশনগুলোর সরাসরি নাম—addition বা multiplication multivalued। এতে classical ধারাকে পুনরুদ্ধার করতে quotient করে বা projection ব্যবহার করা হয়। Krasner hyperfield ইত্যাদি ধারণাগত দৃষ্টান্ত আছে।
• শীভস এবং টোপস (sheaves / toposes): স্থানভিত্তিক তথ্য (plane-এ কোন triangle কিভাবে বসে) locally ধরে পুরো global structure বানাতে হবে।local neighbourhood থেকে global view এর পথ খোজা।
• Riemann surface / branched covering মত: re interpretation যেখানে একটি “ধারণা” (একটি সংখ্যার অনুধাবন) বিভিন্ন শাখায় (branches) প্রদর্শিত হয় ঠিক তোমার ১৬ রকম শাখার মত।
৩) কীভাবে “consistent with classical arithmetic” রাখা যাবে এটা প্রধান শর্ত। সহজ উপায়ে করা যায়
প্রতিটি lifted (plane level) অপারেশনের পরে একটা projection map p রাখবে যাতে p(lifted_result_set) = canonically_result (একটিই)। অর্থাৎ plane level এ one→many হবে, কিন্তু প্রতি সেটের projection একটাই, ফলে যখন “সাধারণ real arithmetic” দেখতে চাইবেন সেটা ঠিক একই value আসে। এটি কভ্যারিং বা bundle lifting principle থেকে সরাসরি আসে
অপারেশনকে base level এ কম্পোজ করে নিশ্চিত করা যাবে যে projection preserves operations.
৪) “১৬” এর রোলে কেমন মেথড থাকবে ১৬ টাই ফাইবার সাইজ ধরলে এটা কেবল সংখ্যা; কিন্তু কাঠামো চাইলে ফাইবারকে একটি গ্রুপের উপর অ্যাকশনও দিতে পারি অর্থাৎ monodromy গ্রুপ G থাকবে যার অর্ডার পারে ১৬ বা G এর কোনও সাবগ্রুপ ১৬টি একককে orbit করে। আরেকভাবে, ৪×৪ এর মত গঠনও বিবেচনা করা যায়: চারটি trig ক্যাটেগরি × চারটি geometric modality = ১৬। তাই algebraic ভাবে এটা একটা direct product বা semidirect product মত extension হিসেবে দেখা যায়।
৫) সম্ভাব্য নাম/কোডিং (ইনফরম্যাল) একটা নাম দিতে হবে যেমন “১৬ শীটেড Triangular Covering Algebra” অথবা “Triangular Hyperbundle over ℝ”। গঠনটা হবে
• একটি projection p : T → ℝ, যেখানে T হলো triangle instances (সমস্ত possible triangle interpretations)।
• প্রতিটি x∈ℝ জন্য p^{-1}(x) তে ১৬টি উপাদান।
• অপারেশন ⊕, ⊗: T×T → P(T) (power set), মানে pair wise geometric glue থেকে ফলস্বরূপ একটি সেট পাওয়া যাবে।
• স্পষ্ট শর্ত
p( A ⊕ B ) = p(A) + p(B) (classic sum), এবং একইভাবে multiplication এর জন্যও। এইরকম projection compatibility হলো consistency axiom।
এটাকে algebraically rigid করতে পারি আরো শর্ত বসিয়ে
associativity/projection associativity, identity elements as sections, inverses as appropriate subsets ইত্যাদি তবে হাইপারগোষ্ঠীর মতই কিছু associativity shaped আইন শিথিল হতে পারে।
৬) প্রাসঙ্গিক গাণিতিক পরীক্ষিত উদাহরণ/প্রেরণা
• hyperfields/hyperrings: addition multivalued সঞ্জয় নাথ ধারণার অতি নিকট।
• covering spaces + lifted group operations: ক্লাসিক টপোলজিতে আছে, monodromy ব্যবহার করে multivaluedness পাওয়া যায়।
• gerbes and stacks: স্থানভিত্তিক বিভিন্ন local-choices কে coherent global object বানাতে ব্যবহৃত হয় সঞ্জয় নাথ planar local triangle choices এ gerbe ব্যবহার করে formalize করতে পারবে।
• noncommutative geometry (Connes)
যদি coordinate free কিন্তু algebraic operator level calculus হয়, Connes ধাঁচের noncommutative algebra কাজে লাগবে।
৭) ফলাফল ও বৈশিষ্ট্য (intuition)
• অপারেশনগুলো noncommutative হতে পারে, কারণ geometric glue order পরিবর্তন করলে final fiber subset বদলায়।
• classical arithmetic ফিরে আসে projection কম্পোজিশনে; ফলে backward compatibility থাকছে।
• সিদ্ধান্ত/পছন্দগুলোর multiplicity (১৬) মানে cognitive/interpretational richness
প্রতিটি সংখ্যার জন্য ১৬টা geometric reading থাকবে।
• গণনায় stability পেতে হলে coherence axioms, monodromy-group নির্দিষ্টকরণ, এবং কিছু compatibility constraints লাগবে।
৮) “এমন algebra structure আছে কি?”
সরাসরি উত্তর সোজা জবাব
না
এখনও এই নির্দিষ্ট ১৬ triangular bundle algebra নামে অথবা এই ধারণা নিয়ে কোনো classically প্রতিষ্ঠিত ব্র্যান্ডড নাম নেই published ধারণা ও নেই এখনও; কিন্তু সব মৌলিক গাণিতিক যন্ত্রাংশ (coverings, bundles, hyperrings, groupoids, stacks) আছে এবং তাদের সংমিশ্রণে সঞ্জয় নাথ এক সম্পূর্ণ কন্সিস্টেন্ট, coordinate free, Euclid dependent 2D calculus compatible algebra তৈরি করতে পারে যেটা ঠিকই বৈশিষ্ট্যগুলো বহন করবে। বাস্তবে এটা হবে “মডুলার” কাঠামোঃ fiber size (১৬) ও monodromy নির্ধারণ করে, coherence axioms বসাবে এবং projection compatibility axioms স্থাপন করবে তারপর কালগুলোর উপর calculus like operations (differentiation = local angular variation operator, integration = ordered gluing of triangles) সংজ্ঞায়িত করা যাবে।
Comments
Post a Comment